[論文レビュー] Extension of 2-forms and symplectic varieties

Yoshinori Namikawa|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、特異的シンプレクティック多様体の基本定理を確立する。特異的シンプレクティック多様体の平坦な族においてシンプレクティック2形式が拡張されることを保証する『安定性定理』と、特定の条件下で周期写像が局所的に同型となることを示す『局所トーレリ定理』を証明する。これらの結果は、特に特異点の余次元が4以上である場合に、特異的シンプレクティック空間に対して変形理論およびホッジ理論を一般化するものである。

ABSTRACT

This paper deals with symplectic varieties which do not have symplectic resolutions. Some moduli spaces of semi-stable torsion-free sheaves on a K3 surface, and symplectic V-manifolds are such varieties. We shall prove local Torelli theorem for symplectic varieties. Some results on symplectic singularities are also included.

研究の動機と目的

• シンプレクティック多様体の平坦な変形においてシンプレクティック構造が安定することを確立すること。
• 端末的特異点をもつ特異的シンプレクティック多様体へ局所トーレリ定理を一般化すること。
• シンプレクティック多様体の解体におけるコホモロジーおよび正則2形式の振る舞いを明確にすること。
• シンプレクティック多様体の周期写像が局所同型となる条件を提供すること。
• 特異点が制御された非滑らかシンプレクティック多様体へホッジ理論的および変形理論的結果を拡張すること。

提案手法

• 特異点の余次元が ≥4 であると仮定し、シンプレクティック多様体のクラスキの族を用いてその局所的変形を研究する。
• 安定性定理を適用して、シンプレクティック2形式が平坦な族全体に拡張されることを示し、各ファイバーがシンプレクティックのままであることを保証する。
• 解体 ν: ~Z → Z への正則2形式 ω 及びその上への持ち上げを用いて、H^2(U, ℂ) 上に二次形式 q を構成する。
• 各変形パrameter s に対して、拡張された2形式 ω_s のコホモロジー類を写像する周期写像 p: S → ℙ(H) を定義する。
• ホッジ分解および混合ホッジ理論を用いてファイバーのコホモロジーを分析し、H^2(U_s, ℂ) が H^2(Z, ℂ) に同型であることを示す。
• 2形式の正規化のための条件 ∫~Z (ωω̄)^l = 1 を用い、二次形式および周期写像の定義が正当化されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック多様体の滑らか領域におけるシンプレクティック2形式が、平坦族のすべてのファイバーに拡張可能か？
• RQ2 シンプレクティック多様体の周期写像が局所同型となる条件は何か？
• RQ3 シンプレクティック多様体の変形において、滑らか領域のコホモロジーと全空間のコホモロジーの関係は何か？
• RQ4 特異点集合の余次元がシンプレクティック多様体の変形理論に果たす役割は何か？
• RQ5 非射影的端末的特異点をもつシンプレクティック多様体に対しても、局所トーレリ定理を拡張可能か？

主な発見

• 射影的シンプレクティック多様体 Z の滑らか領域 U におけるシンプレクティック2形式 ω は、中心ファイバーの十分小さな近傍内の平坦族のすべてのファイバー Z_t に拡張可能である。
• 写像 H^2(Z, ℂ) → H^2(U, ℂ) は同型である。これは、特異的多様体のコホモロジーがその滑らか領域のコホモロジーを捉えていることを示している。
• H^2(U, ℂ) 上の二次形式 q は解体 ν: ~Z → Z の選び方に依存せず、コホモロジー類の持ち上げに対する ω 及びその共役の積分によって定義される。
• 周期写像 p: S → ℙ(H) は局所同型であり、その像は ℒ = {x ∈ ℙ(H) | q(x) = 0, q(x + x̄) > 0} に含まれる。
• 局所系統 R^2π_*(π^{-1}𝒪_S) は底空間 S 上で自明化され、各 s ∈ S に対してそのファイバーは H^2(U_s, ℂ) に同型である。
• 解体 ~Z から押し出し層 R^2ν_*ℚ へのコホモロジー類の像に関する条件 (*) が満たされることにより、非射影的場合における局所トーレリ定理の正当性が保証される。