[論文レビュー] Extension of Quantum Mechanics to Individual Systems

James Ax, Simon Kochen|ArXiv.org|May 24, 1999

Quantum Mechanics and Applications参考文献 33被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、ヒルバート球 S 上の接続を伴うバンドルに基づく幾何学的枠組みを導入することで、量子力学を統計的集合体から個々の系へと拡張する。測定のパラドックスは、各複合系の状態が振幅トーラスの一意的な凸分割を許容することによって解消され、初期位相分布に従って決定論的な純粋状態の時間発展が生じる。これにより、本質的非決定性を仮定せず、標準的量子確率が回復される。

ABSTRACT

The Copenhagen Interpretation describes individual systems, using the same Hilbert space formalism as does the statistical ensemble interpretation (SQM). This leads to the well-known paradoxes surrounding the Measurement Problem. We extend this common mathematical structure to encompass certain natural bundles with connections over the Hilbert sphere S. This permits a consistent extension of the statistical interpretation to interacting individual systems, thereby resolving these paradoxes. Suppose V is a physical system in interaction with another system W. The state vector of V+W has a set of polar decompositions with a vector q of complex coefficients. These are parameterized by the right toroid T of amplitudes q, and comprise a singular toroidal bundle over S, which comprises the enlarged state space of V+W. We prove that each T has a unique natural convex partition yielding the correct SQM probabilities. In the extended theory V and W synchronously assume pure spectral states according to which member of the partition contains q. The apparent indeterminism of SQM is thus attributable to the effectively random distribution of initial phases.

研究の動機と目的

• 統計的集合体を超えて個々の系へと形式的枠組みを拡張することで、量子力学における基礎的パラドックス、特に測定問題を解決すること。
• 本質的非決定性を含まない決定論的枠組みを個々の量子系に提供し、標準的量子確率を再現すること。
• ヒルバート空間形式主義と幾何的構造（特に特異的トーラスバンドル）を統合し、相互作用する系をモデル化すること。
• 量子測定における見かけのランダムネスが、根本的な非決定性ではなく、実効的にランダムな初期位相分布に起因することを示すこと。
• 振幅トーラスの一意的な凸分割を通じて、統計的解釈（SQM）を個々の相互作用を受ける系へ一貫的に拡張すること。

提案手法

• 著者らは、相互作用系 V+W の拡大された状態空間を表すために、複素振幅ベクトル q でパrameter化されたヒルバート球 S 上の特異的トーラスバンドルを構築する。
• 振幅 q の右トーラス T を定義し、これは S 上のファイバー・バンドルを形成し、複合系の状態を符号化する。
• 各トーラス T に自然な凸分割を導入し、これが標準的量子力学（SQM）が予測する正しい確率を生じることを示す。
• 力学は決定論的である：各系は、振幅ベクトル q が含まれる分割要素に従って、同期的かつ純粋スペクトル状態へ崩壊する。
• 分割の一意性と一貫性を保証するために、ヒルバート球上での接続と幾何的構造に依存する。
• 微分幾何、ヒルバート空間構造、確率論の数学的形式主義を統合し、初期位相分布から決定論的結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的統計的解釈（SQM）を、個々の相互作用を受ける量子系へ一貫的に拡張することは可能か？
• RQ2 個々の系における量子確率の出現を裏付ける幾何的構造は何か？
• RQ3 根本的なランダムネスを仮定せず、量子測定における見かけの非決定性をどのように説明できるか？
• RQ4 複合系の振幅空間を、SQMの確率を再現する一意的な方法で分割できるか？
• RQ5 標準的量子力学の予測と一致する、個々の系を対象とする決定論的理論を構築できるか？

主な発見

• 拡張理論は、状態の縮退が本質的ランダムネスではなく初期位相分布に従って決定されることを示し、個々の系の決定論的記述を提供する。
• 各トーラスファイバー T は、標準的量子力学的測定結果の確率を再現する一意的な自然な凸分割を備えている。
• この枠組みは、初期振幅ベクトル q とその分割されたトーラス内での位置に基づいて、個々の系の時間発展が完全に決定されることを示すことで、測定問題を解消する。
• 理論はヒルバート空間形式主義を維持しつつ、ヒルバート球 S 上に接続を伴うバンドルという幾何的構造を導入する。
• したがって、SQMにおける見かけの非決定性は、根本的な量子的非決定性ではなく、初期位相の実効的ランダム分布に起因することが示される。
• このモデルは、量子力学の実験的予測を変更せずに、統計的解釈を個々の系へ成功裏に拡張する。