[論文レビュー] Extension results for boolean maps and a class of systems of linear inequalities

Cinzia Bisi, Giampiero Chiaselotti|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2010

Advanced Algebra and Logic参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限自己反転順序集合上のブール写像の「コア」の概念を導入し、未解決のManickam-Miklös-Singhi予想に関連する(n,r)-線形不等式系に注目する。すべてのこのようなブール写像は、その系の整合性を捉える一意な最小コア（「基本コア」）を有し、整合的とされる写像の族が、整合的総不等式系を完全に特徴づけることを示し、これらの系の構造に関する未解決の問いを解決する。

ABSTRACT

In this paper we introduce the notion of {\it core} for two specific classes of boolean maps on finite involution posets (which are a generalization of the boolean lattices) and we prove some extension results for such families of boolean maps. Through the properties of the core, we provide a complete characterization of such maps. The main purpose of such abstract results is their application to the study of the compatibility of a particular class of systems of linear inequalities related to a conjecture of Manickam, Miklös and Singhi (\cite{ManSin88}, \cite{ManMik87}), still unsolved and that can be considered dual to the theorem of Erdös-Ko-Rado \cite{erd-ko-rad}.

研究の動機と目的

• Manickam-Miklös-Singhi予想に関連する線形不等式系の整合性を、順序集合上のブール写像を用いて特徴づける。
• 整合性を保つ最小部分系としての「コア」を定義し、その性質を研究する。
• 整合的とされる写像の概念を導入し、それが整合的(n,r)-系の性質を完全に捉えていることを示す。
• 整合的総(n,r)-系に対応する写像の族が、形式的に整合的とされる写像の族と等しいかどうかという未解決の問いを解消する。

提案手法

• (n,r)-系を、順序付き変数と重み付き和を含む線形不等式の集合として定義する。
• 各(n,r)-系を、(S(n,r), ⊑)のラティス上のブール写像Aとして表現する。各文字列wに対してA(w) = P（正）またはN（負）とする。
• Aの「コア」を、元の系の整合性を保つ最小部分系として定義する。
• ブール写像Aの「基本コア」を、Aの唯一の最小コアとして定義する。
• 各文字列wの任意の分割が写像の値を保つような「補完的点ごとの写像」の概念を導入する。
• 補完的点ごとに定義される写像を「形式的に整合的」と定義し、最大文字列r⋯21|12⋯(n−r)に対してP（またはN）を割り当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式的に整合的とされる写像の族は、整合的総(n,r)-系に対応する写像の集合と等しいか？
• RQ2 総(n,r)-系の整合性は、最小コアによって完全に特徴づけられるか？
• RQ3 ブール写像の基本コアは、対応する(n,r)-系の整合性を一意に決定するか？
• RQ4 整合的であるが形式的に整合的でないブール写像が存在するか。これは特徴づけのギャップを示唆するか？

主な発見

• S(n,r)上の任意のブール写像Aは、一意な最小コア（「基本コア」と呼ばれる）を有し、これは系の整合性を捉えている。
• 写像Aの基本コアは、元の全系と同一の整合性状態を保つ最小部分系である。
• 形式的に整合的とされる写像の族FC+(n,r)は、すべての整合的総(n,r)-系に対応する写像を含む。すなわち、χ(W+CT Syst(n,r)) ⊆ FC+(n,r) が成り立つ。
• A ∈ W−(6,3)の例は、補完的点ごとのコアを持つがFC−(6,3)に属さないことを示しており、逆包含は成り立たない。これは、非総系に対してQ3が成り立たないことを示唆する。
• 本稿は、W+(n,r)の族が整合的系の性質を完全に捉えていないことを示しており、より厳しいFC+(n,r)条件の導入が不可欠であることを示している。
• 結果として、基本コアは(n,r)-系における整合性の完全な不変量であることが確立され、解法可能性の最小特徴づけが得られた。