[論文レビュー] Extension Theory and Krein-type Resolvent Formulas for Nonsmooth Boundary Value Problems

Helmut Abels, Gerd Grubb+1 more|University of Regensburg Publication Server (University of Regensburg)|Jan 1, 2010

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$B^{\frac{3}{2}}_{p,2}$-滑らかさを持つ境界（$p>2(n-1)$）と$H^1_q$空間（$q>n$）に属する係数を持つ非自己共役な2階楕円型作用素に対して、擬微分作用素境界作用素の計算を確立し、自己共役拡大の完全な特徴付けと、Kreïn型のリゾルベント公式を導出する。この手法は、記号の滑らか化とパラメトリックス構成を活用し、負の順序のソボレフ空間における正則性と写像性質を達成し、古典的結果を滑らかでない設定に拡張する。

ABSTRACT

For a strongly elliptic second-order operator $A$ on a bounded domain $Ω\subset \mathbb{R}^n$ it has been known for many years how to interpret the general closed $L_2(Ω)$-realizations of $A$ as representing boundary conditions (generally nonlocal), when the domain and coefficients are smooth. The purpose of the present paper is to extend this representation to nonsmooth domains and coefficients, including the case of Hölder $C^{\frac32+\varepsilon}$-smoothness, in such a way that pseudodifferential methods are still available for resolvent constructions and ellipticity considerations. We show how it can be done for domains with $B^\frac32_{p,2}$-smoothness and operators with $H^1_q$-coefficients, for suitable $p>2(n-1)$ and $q>n$. In particular, Kre\uın-type resolvent formulas are established in such nonsmooth cases. Some unbounded domains are allowed.

研究の動機と目的

• 滑らかまたは$C^{1,1}$領域を超える滑らかでない楕円型境界値問題への拡大理論およびKreïn型リゾルベント公式の拡張。
• 境界の滑らかさが制限された領域における低正則性ソボレフ空間、特に負の順序空間における写像性質の課題に対処する。
• 主記号解析を通じて楕円型性を保ち、低次の剰余項を処理する擬微分作用素の計算に基づく枠組みの構築。
• 境界が$B^{\frac{3}{2}}_{p,2}$-滑らかさを持つ領域および$H^1_q$-係数を持つ非自己共役2階作用素の実現の特徴付け。
• ラプラシアンに関する既存の結果を、領域および係数の正則性仮定を弱める条件下で一般の2階楕円型作用素へ一般化すること。

提案手法

• 擬微分作用素境界作用素の計算を用いて、作用素を主部と低次の剰余項に分解し、正確な正則性解析を可能にする。
• 境界パラメトリゼーションにおける$C^{\frac{3}{2}+\frac{1}{p}}$-正則性を扱うために記号の滑らか化技術を適用し、楕円型性および写像性質と整合性を保証する。
• ディリクレ・トゥ・ノイマン作用素およびポアソン解作用素のためのパラメトリックス構成を採用し、負の順序のソボレフ空間における連続性を確立する。
• 順序低減作用素$\Lambda_{-,+}^r$および$\Lambda_0^s$を用いて、負の順序へのクラス概念の拡張を図り、低正則性設定におけるトレース作用素および境界作用素の解析を可能にする。
• $x$-形式および境界記号計算の理論を用いて、$H^s(\mathbb{R}^n_+)$および$H^s(\mathbb{R}^{n-1})$に作用する作用素の写像性質を導出する。
• 指定された正則性および順序制約下で、残渣作用素$\mathcal{R} = \mathcal{A}\mathcal{B}^0 - I$のソボレフ空間における連続性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $B^{\frac{3}{2}}_{p,2}$-滑らかさを持つ境界をもつ領域における非自己共役2階楕円型作用素に対して、Kreïn型リゾルベント公式を導出できるか。
• RQ2 境界が$C^{1,1}$または$C^{\frac{3}{2}+\varepsilon}$でない場合に、擬微分作用素の計算をどのように調整すれば、楕円型性と正則性を維持できるか。
• RQ3 このような領域における負の順序のソボレフ空間におけるリゾルベント、ポアソン作用素、およびディリクレ・トゥ・ノイマン写像の写像性質は何か。
• RQ4 境界が$B^{\frac{3}{2}}_{p,2}$-正則性および$H^1_q$-係数をもつ滑らかでない領域に、境界三重体および$m$-関数の理論をどの程度まで拡張できるか。
• RQ5 パラメトリックス法を用いて、低正則性関数空間における拡大およびリゾルベントの特徴付けにどの程度まで応用できるか。

主な発見

• 本稿は、$p>2(n-1)$を満たす$B^{\frac{3}{2}}_{p,2}$-滑らかさを持つ境界をもつ$C^{\frac{3}{2}+\varepsilon}$型領域において、非自己共役2階楕円型作用素の自己共役拡大の完全な特徴付けを確立する。
• 主部と低次の剰余項への分解を可能にする擬微分作用素境界作用素の計算が開発され、ソボレフ空間における楕円型性と正則性を保証する。
• 一般の実現と基準作用素との間のリゾルベント差は境界作用素によって表現され、滑らかでない設定においてKreïn型リゾルベント公式が得られる。
• リゾルベント、ポアソン解作用素、およびディリクレ・トゥ・ノイマン写像の写像性質が、負の順序のソボレフ空間において確立され、古典的結果が拡張される。
• 理論は非有界領域にも適用可能であり、$q>n$を満たす$H^1_q$-係数を許容し、乗法およびトレース定理に十分な正則性を保証する。
• 順序低減作用素の使用により、クラス概念が負の順序へ拡張され、低正則性関数空間におけるトレース作用素および境界作用素の解析が可能になる。