[論文レビュー] Extinction behaviour for the fast diffusion equations with critical exponent and Dirichlet boundary conditions

Yannick Sire, Juncheng Wei+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ n \geq 3 $ における一般の滑らかな有界領域 $ \mathbb{R}^n $ 上で、臨界定数 $ m = \frac{n-2}{n+2} $ とディリクレ境界条件を満たす高速拡散方程式の厳密な消滅挙動を確立する。放物的グラーディング法を用いて、有限時刻 $ T $ で消滅する解を構成し、対数補正を含む明確な漸近的プロファイルを得た。これはガラキオンヨフとキングによる球対称の場合の予想を確認・拡張するものである。

ABSTRACT

For a smooth bounded domain $Ω\subseteq\mathbb{R}^n$, $n\geq 3$, we consider the fast diffusion equation with critical sobolev exponent $$\frac{\partial w}{\partialτ} =Δw^{\frac{n-2}{n+2}}$$ under Dirichlet boundary condition $w(\cdot, τ) = 0$ on $\partialΩ$. Using the parabolic gluing method, we prove existence of an initial data $w_0$ such that the corresponding solution has extinction rate of the form $$\|w(\cdot, τ)\|_{L^\infty(Ω)} = γ_0(T-τ)^{\frac{n+2}{4}}\left|\ln(T-τ) ight|^{\frac{n+2}{2(n-2)}}(1+o(1))$$ as $t o T^-$, here $T > 0$ is the finite extinction time of $w(x, τ)$. This generalizes and provides rigorous proof of a result of Galaktionov and King \cite{galaktionov2001fast} for the radially symmetric case $Ω=B_1(0) : = \{x\in \mathbb{R}^n||x| < 1\}\subset\mathbb{R}^n$.

研究の動機と目的

• 一般の滑らかな有界領域における臨界定数 $ m = \frac{n-2}{n+2} $ を持つ高速拡散方程式の消滅挙動に対する厳密な漸近的解析を提供すること。
• 球対称に限られた形式的結果であるガラキオンヨフとキングの結果を、任意の滑らかな領域へと拡張すること。
• 特定の消滅速度と対数補正を示す初期データの存在を確立すること。
• 消滅時刻近傍における解の吹き上がりプロファイルを、領域内に固定された点を中心とするマルチピーク構造を用いて特徴付けること。

提案手法

• 消滅時刻近傍での所望の漸近的挙動を持つ解を構成するために、放物的グラーディング法を用いる。
• 解を内側領域と外側領域に分解し、内側領域は $ \Omega $ 内の $ k $ 個の固定点 $ q_j \in \Omega $ 近傍での局所的ピーク挙動を捉える。
• 一致漸近展開法を用い、内側解は標準的な基底状態 $ U(y) $ をモデルとし、外側解はディリクレ境界条件を満たすグリーン関数に従う。
• ピークの振幅と位置を記述するパラメータ関数 $ \tilde{\mu}_j(\tau) $ と $ \tilde{\xi}_j(\tau) $ を導入し、$ \tilde{\mu}_j \sim \beta_j \left(\log \frac{T}{T-\tau}\right)^{-1/(n-2)} $ と表す。
• 重み付き関数空間における固定点法を用いて内側および外側問題を解き、直交性および減衰条件を満たすようにする。
• パラメータのための得られる常微分方程式系の可解性を、収縮写像と摂動論を用いて確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の滑らかな有界領域における臨界定数 $ m = \frac{n-2}{n+2} $ を持つ高速拡散方程式の解の正確な消滅速度は何か？
• RQ2 解のプロファイルは消滅時刻 $ T $ 近傍でどのように振る舞うか。特にピークの局所化と振幅の減衰に関しては？
• RQ3 ガラキオンヨフとキングによる球対称の場合の形式的漸近的結果は、非球対称領域へと厳密に拡張可能か？
• RQ4 グリーン関数とその正則部分は、消滅プロファイルを決定づける上で果たす役割は何か？
• RQ5 点 $ q_1, \dots, q_k $ に対して、幾何的および代数的条件が満たされると、複数ピークを持つ解が存在するか？

主な発見

• 解は $ \|w(\cdot,\tau)\|_{L^\infty(\Omega)} = \gamma_0 (T-\tau)^{\frac{n+2}{4}} |\ln(T-\tau)|^{\frac{n+2}{2(n-2)}} (1+o(1)) $ として消滅する。$ \tau \to T^- $ のとき、対数補正が確認された。
• 消滅プロファイルは、領域内に固定された点 $ q_j \in \Omega $ を中心とする $ k $ 個の局所的ピークで特徴づけられ、振幅は $ \tilde{\mu}_j(\tau) \sim \beta_j \left(\log \frac{T}{T-\tau}\right)^{-1/(n-2)} $ と減衰する。
• 解が存在するためには、正則グリーン関数と相互グリーン関数を含む行列 $ \mathcal{G}(q) $ が正定値でなければならない。
• 解は、標準解 $ U(y) = (1+|y|^2)^{-(n-2)/2} $ をモデルとした $ k $ 個の特異プロファイルの和に漸近的に近いが、正則部分 $ H(x,q_j) $ による補正が加わる。
• 外側誤差項 $ \tilde{\varphi}(x,\tau) \to 0 $ は $ q_j $ の近傍を除き一様に収束し、プロファイルの局所化を保証する。
• 行列 $ \mathcal{G}(q) $ が正定値であるという条件下で、重み付き関数空間における固定点法により、このような初期データ $ w_0 $ の存在が確立された。