[論文レビュー] Singularity formation for the two-dimensional harmonic map flow into $S^2$

Juan Dávila, Manuel del Pino+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 31被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、領域内の任意の有限個の点に特異点を集中させる2次元調和写像流に対する有限時刻 blow-up 解を構成する。漸近的に特異的なスケーリングを施した1-偏心調和写像を用いて、このような解の存在を証明し、解のホモトピー型を保つ「逆バブル」を用いた blow-up 後の継続を導入する。

ABSTRACT

We construct finite time blow-up solutions to the 2-dimensional harmonic map flow into the sphere $S^2$, \begin{align*} u_t & = Δu + | abla u|^2 u \quad ext{in } Ω imes(0,T) \\ u &= φ\quad ext{on } \partial Ω imes(0,T) \\ u(\cdot,0) &= u_0 \quad ext{in } Ω, \end{align*} where $Ω$ is a bounded, smooth domain in $\mathbb{R}^2$, $u: Ω imes(0,T) o S^2$, $u_0:\barΩ o S^2$ is smooth, and $φ= u_0\big|_{\partialΩ}$. Given any points $q_1,\ldots, q_k$ in the domain, we find initial and boundary data so that the solution blows-up precisely at those points. The profile around each point is close to an asymptotically singular scaling of a 1-corrotational harmonic map. We build a continuation after blow-up as a $H^1$-weak solution with a finite number of discontinuities in space-time by "reverse bubbling", which preserves the homotopy class of the solution after blow-up.

研究の動機と目的

• 領域内の任意の有限個の点に特異点を集中させる2次元調和写像流への有限時刻 blow-up 解の構成。
• 各特異点近傍における blow-up プロファイルを、1-偏心調和写像の漸近的に特異的なスケーリングとして同定すること。
• 解のホモトピー型を保つ有限個の不連続性を有する H^1-弱解として、blow-up 後の解の継続を構築すること。
• 初期データおよび境界データの小さな摂動の下で、1点 blow-up 現象のcodimension one 安定性を確立すること。

提案手法

• エネルギー 4π を有する 1-偏心調和写像 $W(x) = \frac{1}{1+|x|^2}(2x, |x|^2 - 1)$ を中心に摂動的アプローチを用いて解を構成する。
• 解を極限写像 $u_*$ と $k$ 個のバブル成分 $U_i$ に形式的に分解し、blow-up 点 $q_i$ の近傍で $\lambda_i^n \to 0$ となるスケーリングを用いる。
• 解を熱核と非線形力項を含む積分として表すために、デュハメールの公式を適用する。
• 熱核の評価を用いて、スケーリング（$\lambda$）および中心（$\xi$）パラメータに関する解の方向微分の推定を行う。
• バブルを極限写像へ再吸収することで、blow-up 時間を超えて解を拡張する「逆バブル」の手法を用いる。
• エネルギー推定と $t \uparrow T$ 近傍における $\nabla u$ の $L^\infty$ ノルムの制御を通じて安定性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 S^2 への2次元調和写像流に対して、所望の有限個の点に局在化した特異点を有する有限時刻 blow-up 解を構成可能か？
• RQ2 各 blow-up 点近傍における解の正確な漸近的プロファイルは何か？また、1-偏心調和写像とどのように関係するか？
• RQ3 解を blow-up 時間を超えて、ホモトピー型を保つ $H^1$-弱解として継続可能か？
• RQ4 初期データおよび境界データの小さな摂動の下で、1点 blow-up 機序は安定か？
• RQ5 blow-up 速度は自己相似（タイプ I）行動とどのように比較されるか？また、これは特異性の性質に何を示唆するか？

主な発見

• 著者らは、領域 $\Omega$ 内の任意の $k$ 点 $q_1, \dots, q_k$ で正確に有限時刻 $T$ に blow-up する解を構成した。
• 各 blow-up 点 $q_i$ 近傍では、解のプロファイルはエネルギー $4\pi m_i$ を有するスケーリングされた 1-偏心調和写像 $U_i$ に収束する。ここで $m_i \in \mathbb{N}$ である。
• blow-up はタイプ II であり、$\lambda_i^n = o((T - t_n)^{1/2})$ であるため、非自己相似的集中を示す。
• blow-up 後に、ホモトピー型を保つ有限個の不連続性を有する $H^1$-弱解として「逆バブル」を用いて解の継続を構成した。
• 1点 blow-up 解は codimension one 安定である。これは、初期データおよび境界データの $C^2$-小摂動の下でも解が存続することを意味する。
• エネルギー集中は、$t \uparrow T$ のとき、測度的意味で $|\nabla u|^2 \rightharpoonup |\nabla u_*|^2 + \sum_{i=1}^k 4\pi m_i \delta_{q_i}$ と定量的に記述された。