[論文レビュー] Extra extension properties of equidimensional holomorphic mappings: results and open questions

S. Ivashkovich|ArXiv.org|Oct 25, 2008

Holomorphic and Operator Theory参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、複素多様体間の等次元正則写像について、強力な拡張性を確立する。特に、局所的擬凸領域からコンパクトで局所的に一様なケーラー多様体へのメロモルフィック写像が、正則性の包（holomorphy envelope）に正則に拡張されることを示している。主な貢献は、カルルソン＝ハーヴェイ予想の一般化であり、正則性の包を形成する群作用が局所的に不連続で固定点を持たない場合、その被覆領域が有理曲線を含まない限り、その領域自体がシュタイン多様体であることを示している。

ABSTRACT

Holomorphic (nondegenerate) mappings between complex manifolds of the same dimension are of special interest. For example, they appear as coverings of complex manifolds. At the same time they have very strong "extra" extension properties in compare with mappings in different dimensions. The aim of this paper is to put together the known results on this subject, give some perspective on the general strategy for future progress, prove some new results and formulate open questions.

研究の動機と目的

• 複素多様体間の等次元正則写像の拡張性に関する既知の結果を統合・拡張すること。
• コンパクトで局所的に一様なケーラー多様体へのメロモルフィック写像が、正則性の包に正則に拡張される条件を確立すること。
• 今後の複素幾何の研究を導くオープンな問題を提示すること、特に拡張性、体積成長、複素構造の変形に関するもの。
• カルルソン＝ハーヴェイ予想を一般化すること。すなわち、正則性の包を形成する群作用が局所的に不連続で固定点を持たない場合、被覆領域が有理曲線を含まない限り、その領域自体がシュタイン多様体であることを証明すること。

提案手法

• 正則性の包の概念を用いて、シュタイン多様体内の領域からその正則的凸包への正則写像の拡張を行う。
• コンパクト性の弱い代替として、ディスク凸性（disk-convexity）の概念を応用する。
• 余次元が2以上の不確定性集合を持つ解析的グラフによって定義されるメロモルフィック写像を用いる。
• コンパクトケーラー多様体をファイバーとする正則ファイブレーションと、シュタイン補集合上でのメロモルフィックセクションの拡張に依拠する。
• 形式 $(dd^c\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\norm{z}^2 + f^*\omega)^k$ の積分によるグラフの体積推定を用いて、成長とコンパクト性を制御する。
• 非ケーラー複素幾何の結果を応用し、適切な条件下で非ケーラー全空間へのメロモルフィック写像の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的擬凸領域からコンパクトで局所的に一様なケーラー多様体へのメロモルフィック写像が、正則性の包に正則に拡張される条件は何か？
• RQ2 不確定性集合の補集合がシュタインである場合、コンパクトケーラー多様体をファイバーとする正則ファイブレーションのメロモルフィックセクションは、全体として正則に拡張可能か？
• RQ3 複素多様体におけるさまざまなディスク凸性の概念の間にはどのような関係があるか？それらは同値か？
• RQ4 $\mathbb{C}^2$ 上の非シュタイン領域からコンパクト複素多様体への正則写像で、点を分離するものは存在するか？このような写像が存在する場合、それによってターゲット多様体に課される制約は何か？
• RQ5 特に等次元の場合に、穴あき多円板からコンパクト複素空間へのメロモルフィック写像のグラフに適用される体積成長の上限は何か？

主な発見

• 局所的擬凸領域からコンパクトで局所的に一様なケーラー多様体へのメロモルフィック写像は、不確定性集合の外で局所的に正則的同型である限り、正則性の包に正則に拡張可能である。
• シュタイン多様体内の領域 $D$ が、固定点のない正則性の包を形成する群作用によってコンパクトケーラー多様体 $X$ を被覆する場合、$D$ がシュタインであることは、$X$ に有理曲線が含まれないことに同値である。
• シュタイン多様体内の領域 $D$ の正則性の包 $ olinebreak\hat{D}$ は、$X$ がコンパクトケーラーで有理曲線を含まない限り、任意の正則写像 $f:D\to X$ を $ olinebreak\hat{f}:\hat{D}\to X$ に正則に拡張できる。
• コンパクト複素空間 $X$ へのメロモルフィック写像 $f:\Delta^k\to X$ に対して、像の体積が有界であれば、グラフの体積も有界である。ただし、微分ノルムが下から有界で、像の体積が一様に有界であることが条件となる。
• 等次元の場合 $f:\Delta^n_*\to X^n$ において、アニュラス領域 $A^n(r,1)$ 上での像の体積は、$n\geq 2$ のとき $O(\log^{n/(n-1)}(1/r))$ のオーダーでしか増加しないが、$n=1$ の場合は同様の上限は存在しない。
• グラフの体積に一様な上限を満たすメロモルフィック写像の族およびその $k$-ディスクへの制限が、一様なグローバル体積上限を持つ。これにより、ある種の等連続性とコンパクト性が確立される。