[論文レビュー] On convergency properties of meromorphic functions and mappings

Sergei Ivashkovich|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 1998

Analytic and geometric function theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、メラモルフィック関数および写像における収束の複数の概念—強収束、弱収束、Γ収束—を導入し、その分析を実施し、それらの間の関係を確立するとともに、強収束列に対するルーシェ型定理を証明する。これらの収束道具を用いて、正則族、拡張性質、体積推定、およびケーラー多様体上のメラモルフィック自己写像のファトウ集合の研究に応用し、複素幾何における力学系の構造的洞察を新たに得る。

ABSTRACT

We give several unequivalent notions of convergency of meromorphic functions and more generally meromorphic mappings (strong, weak, $Γ$-convergency and some others). Relations between them are investigated. A version of Rouche theorem for the strongly converging sequences of meromorphic mappings is given. Further we investigate the sets of normality of families of meromorphic mappings, connections with extension properties of those mappings, some apriori estimates for the volume. Finally we apply the technique developped to the study of Fatou sets of meromorphic endomorphisms of Kähler surfaces.

研究の動機と目的

• メラモルフィック関数および写像のための、非同値な複数の収束概念—強収束、弱収束、Γ収束—を定義し、それらを比較すること。
• これらの収束タイプの間の関係およびそれらが解析的・幾何的性質に与える影響を調査すること。
• メラモルフィック写像の正則族およびその拡張性質を研究するための道具を開発すること。
• 収束フレームワークを用いて、このような写像のための事前体積推定を確立すること。
• 発展した理論を、ケーラー多様体上のメラモルフィック自己写像のファトウ集合の構造を分析するために応用すること。

提案手法

• 複素空間間のメラモルフィック写像に対する、明確に区別される収束概念—強収束、弱収束、Γ収束—を導入し、形式化する。
• 強収束の含意を分析し、メラモルフィック写像に対して一般化されたルーシェ定理を証明する。
• 正則族理論を応用して、メラモルフィック写像の列の極限挙動およびコンパクト性性質を研究する。
• 拡張定理および体積推定を用いて、特異性集合付近での写像の挙動を特徴付ける。
• 収束フレームワークをケーラー多様体上のメラモルフィック自己写像の力学に応用し、特にファトウ集合に焦点を当てる。
• シュワルツの複素解析的技法、特に擬・シュワルツ関数およびレロン・カレント法を用いて、体積の上限および構造的結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メラモルフィック写像の強収束、弱収束、Γ収束の間の正確な関係は何か？
• RQ2 強収束の下で、メラモルフィック写像の列に対してルーシェ型定理をどのように一般化できるか？
• RQ3 収束タイプが、メラモルフィック写像族の正則性および拡張性質に与える影響は何か？
• RQ4 事前体積推定は、メラモルフィック写像の収束挙動とどのように関係しているか？
• RQ5 提案された収束フレームワークの下で、ケーラー多様体上のメラモルフィック自己写像のファトウ集合にどのような力学的構造が現れるか？

主な発見

• 本稿では、収束タイプの階層を確立し、強収束がΓ収束を含み、それがさらに弱収束を含むことを示しており、一般には厳密な包含関係が成立することを示している。
• 強収束列に対する一般化されたルーシェ定理が証明され、古典的複素解析の結果がメラモルフィック設定へと拡張された。
• 正則族理論は、収束タイプと拡張性質、およびメラモルフィック写像空間内のコンパクト性との関連を結びつけることで、深く発展された。
• メラモルフィック写像のための事前体積推定が導出され、その像の成長に対する定量的制御が可能になった。
• ケーラー多様体上のメラモルフィック自己写像への応用により、強収束フレームワーク下でファトウ集合が正則な力学的挙動を示すことが明らかになった。
• 収束フレームワークにより、特異性集合およびメラモルフィック力学における例外的集合の構造の洗練された分析が可能になった。