[論文レビュー] Extracting Wilson loop operators and fractional statistics from a single bulk ground state

Ze-Pei Cian, Mohammad Hafezi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2022

Quantum many-body systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ギャップのあるハミルトニアンの1つの基底状態波動関数から、ハミルトニアンに関する事前の知識がなくても、ウィルソン・ループ演算子（WLOs）および分数統計を偏りのない数値最適化手法を用いて抽出する手法を提示する。WLOsを行列積演算子（MPOs）として定式化し、その変分的パrameterを最適化することで、基底状態部分空間を保存する演算子を同定し、バーニングおよび任意onsの生成・消滅操作を通じてトポロジカル・オーダー（特にモジュラーS行列およびT行列）を抽出する。

ABSTRACT

An essential aspect of topological phases of matter is the existence of Wilson loop operators that keep the ground state subspace invariant. Here we present and implement an \it unbiased m numerical optimization scheme to systematically find the Wilson loop operators given a single ground state wave function of a gapped Hamiltonian on a disk. We then show how these Wilson loop operators can be cut and glued through further optimization to give operators that can create, move, and annihilate anyon excitations. We subsequently use these operators to determine the braiding statistics and topological twists of the anyons, yielding a way to fully extract topological order from a single wave function. We apply our method to the ground state of the perturbed toric code and doubled semion models with a magnetic field that is up to a half of the critical value. From a contemporary perspective, this can be thought of as a machine learning approach to discover emergent 1-form symmetries of a ground state wave function. From an application perspective, our approach can be relevant to find Wilson loop operators in current quantum simulators.

研究の動機と目的

• ハミルトニアンに依存しない、体系的な手法を構築し、1つの基底状態波動関数からトポロジカル・オーダーを診断すること。
• ハミルトニアンが未知または摂動されている場合でも、基底状態を不変に保つウィルソン・ループ演算子（WLOs）を同定すること。
• 同じ波動関数から、分数統計およびモジュラーS行列およびT行列などのトポロジカル不変量を抽出すること。
• 正確なハミルトニアンが不明である量子シミュレータにおけるトポロジカル・オーダーの特徴付けを可能にすること。
• 波動関数データのみから、出現する1形式対称性および任意ons励起状態を発見するためのフレームワークを確立すること。

提案手法

• ループパスに沿ったテンソルでパrameter化された変分的アンザッツを用いて、ウィルソン・ループ演算子を行列積演算子（MPOs）として定式化する。
• 与えられた基底状態におけるMPOの期待値に基づくコスト関数を定義し、有効なWLOsに対して1に近づけることを目的とする。
• MPOテンソルの繰り返し数値最適化（例：勾配ベース）を実行し、コスト関数を最小化することで、基底状態部分空間を保存するWLOsを同定する。
• 最適化されたWLOsを基盤として、さらに最適化を用いて任意onsの生成・移動・消滅を可能にする演算子を構築する。
• 合成された任意ons演算子の期待値を測定し、モジュラーS行列およびT行列を抽出することで、バーニング統計およびトポロジカル・ツイストを計算する。
• 磁場摂動を含む、臨界値の半分までの一貫性のある摂動を加えたトーリック・コードおよび二重セミオン・モデルに対して、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアンの知識がなくても、1つの基底状態波動関数からウィルソン・ループ演算子を体系的に抽出可能か？
• RQ2 変分的最適化を用いて、基底状態波動関数から出現する1形式対称性をどのように同定できるか？
• RQ3 MPOパラメータ化が、任意ons励起状態およびその統計の発見をどのように可能にするか？
• RQ4 この手法は、未知または摂動されたハミルトニアンを有する実世界の量子シミュレータにどの程度適用可能か？
• RQ5 1つの波動関数のみを用いて、モジュラーS行列およびT行列を含む完全なトポロジカル・オーダーが、数値的最適化によって再構成可能か？

主な発見

• 最適化手順により、期待値が1に近づくウィルソン・ループ演算子が正常に同定され、基底状態部分空間を保存することが示された。
• $h_x = 0.15$、$h_z = 0.05$ の摂動付きトーリック・コードでは、約400イテレーションで収束し、WLOの期待値が1に安定する。
• 抽出されたWLOsを用いて、任意onsの生成およびバーニング演算子を構築でき、トポロジカルS行列およびT行列の計算が可能になった。
• 手法により、任意onsの分数統計（任意onsのバーニング位相およびトポロジカル・ツイスト）が正しく回復された。
• トーリック・コードおよび二重セミオン・モデルの両方において、臨界磁場強度の半分まで、摂動に対して本手法は頑健である。
• 本フレームワークは、FおよびR記号の抽出、さらには対称性拡張トポロジカル相の完全なG-クロスド・ブレーデッドテンソルカテゴリの可能性を含め、拡張可能である。