[論文レビュー] Extremal Black Holes as Qudits

Michael Rios|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 62被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、Jordan代数の構造とHopf fibrationを用いて、D=5およびD=6の$Ν=8$および$Ν=2$のマジック超重力理論における極端なブラックホールと、合成代数上のクイディット（キュービットおよびキュートリット）の間の対応関係を確立する。U-duality群はクイディットのSLOCC変換群として特定され、縮小構造群から導かれる明示的なゲートが得られ、ブラックホールの電荷ベクトルと量子情報状態を結ぶ統一的枠組みが提示され、トロイダルコンパクト化されたM理論における幾何的構造が明らかになる。

ABSTRACT

We extend the black hole/qudit correspondence by identifying five and six-dimensional 1/2-BPS black string and hole charge vectors in N=8 and N=2 magic supergravities with qubits and qutrits over composition algebras. In D=6, this is accomplished via Hopf fibrations, which map qubits over composition algebras to rank one elements of Jordan algebras of degree two. An analogous procedure maps qutrits over composition algebras to D=5 charge vectors, which are rank one elements of Jordan algebras of degree three. In both cases, the U-duality groups are interpreted as qudit SLOCC transformation groups. We provide explicit gates for such transformations and study their applications in toroidally compactified M-theory.

研究の動機と目的

• D=5およびD=6の超重力理論における1/2-BPSブラックホールの電荷ベクトルを、合成代数上のクイディットに同定することで、ブラックホール/クイディット対応を拡張すること。
• これらの超重力理論におけるU-duality群を、クイディットのSLOCC変換群として解釈し、高ランクブラックホールへの量子もつれ不変量の一般化を図ること。
• Jordan代数の縮小構造群から導かれる明示的なSLOCCゲートを提供し、ブラックホール状態における量子ゲート操作を可能にすること。
• ブラックホール電荷ベクトルの幾何的構造（ランク1、2、3の要素）を射影空間およびその同形群に関連付けること。
• 特に、$SO(5,5)$による$E_{6(6)}$の27次元表現の分解を、埋め込まれたキュービットゲートを介して、トロイダルコンパクト化されたM理論への応用を検討すること。

提案手法

• D=6およびD=5の超重力理論におけるブラックホール電荷ベクトルを、実数、複素数、分裂オクタニオンを含む合成代数上の次数2および次数3のJordan代数を用いてモデル化する。
• Hopf fibrationを適用し、合成代数上のキュービットを次数2のJordan代数のランク1要素へ、キュートリットを次数3のJordan代数のランク1要素へ写像する。
• Jordan代数の縮小構造群をクイディットのSLOCC群に同定し、ブロック行列を用いたSLOCCゲートの明示的構成を可能にする。
• $SL(2,\mathbb{O}_s) \subset E_{6(6)}$の埋め込みを介して、$2\times2$キュービットSLOCCゲートから$3\times3$キュートリットSLOCCゲートを構築し、$\textrm{Spin}(5,5)$部分群を実現する。
• スペクトル分解を用いて、高ランクブラックホール電荷ベクトルを、直交するランク1要素の直交和として表現し、直交するクイディット状態上の観測可能量に対応付ける。
• 1/2-BPS状態を射影空間の点、1/4-BPSを直線、1/8-BPSを平面に写像し、U-duality群がこれらの幾何的対象上で同形変換群として作用することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D=5およびD=6の$Ν=8$および$Ν=2$のマジック超重力理論における1/2-BPSブラックホール電荷ベクトルを、合成代数上のクイディットにどのように同定できるか？
• RQ2 Hopf fibrationは、次数2および次数3のJordan代数のランク1要素へキュービットおよびキュートリットを写像するために果たす役割は何か？
• RQ3 これらの超重力理論におけるU-duality群は、クイディットのSLOCC変換群としてどのように対応するか？
• RQ4 $SL(2,\mathbb{O}_s)$から得られる埋め込みSLOCCゲートは、D=5のM理論コンパクト化における$E_{6(6)}$の27表現の$SO(5,5)$への分解をどのように生成するか？
• RQ5 高ランククイディット系におけるブラックホール軌道と量子もつれクラスの間の対応関係を支える幾何的および代数的構造は何か？

主な発見

• D=6の$Ν=8$および$Ν=2$超重力理論における1/2-BPSブラックホール電荷ベクトルは、合成代数上のキュービットに同定され、U-duality群は$SL(2,\mathbb{O}_s) \cong \textrm{Spin}(5,5)$に同型である。
• D=5では、1/2-BPSブラックホール電荷ベクトルは合成代数上のキュートリットに対応し、U-duality群$E_{6(6)}$はこれらのクイディットのSLOCC群として作用する。
• 明示的なSLOCCゲートは、$SL(2,\mathbb{O}_s)$を$E_{6(6)}$にブロック対角行列として埋め込むことで構築され、$J_3^{\mathbb{O}_s}$上に$3\times3$変換をもたらす。
• $SO(5,5)$における$\mathbf{27} \rightarrow \mathbf{10} + \mathbf{16} + \mathbf{1}$の分解は、$\textrm{Spin}(5,5)$を$E_{6(6)}$に3通りの異なる方法で埋め込むことで生じ、それぞれが異なるランク1射影子を保存する。
• $\mathbb{OP}^2_s$は3つの$\textrm{Spin}(5,5)$部分群を支持し、それぞれが異なる射影直線（2つのランク1射影子の和）に作用し、1つを不変に保つ。
• この対応関係により、$D=5$の$T^6$コンパクト化されたM理論における$E_{6(6)}$表現の分解が、キュートリットSLOCC操作と結びつけられる、新しい解釈が可能になる。