[論文レビュー] Extremal dependence: some contributions

Helena Ferreira, Марта Феррейра|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2011

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多変量ランダムベクトルの2つの部分ベクトル間の新しい上尾根依存関数および依存の極値係数を導入し、すべての成分が同時に極値に達するという従来の要件を緩和する。2変量技術と順位に基づく推定器を活用することで、高次元の金融データにおける尾部依存の堅牢な評価が可能となり、漸近正規性、強い一致性、および世界の市場インデックスへの実証的検証により、ヨーロッパ、米国、東アジア市場間の顕著な依存関係が示された。

ABSTRACT

Due to globalization and relaxed market regulation, we have assisted to an increasing of extremal dependence in international markets. As a consequence, several measures of tail dependence have been stated in literature in recent years, based on multivariate extreme-value theory. In this paper we present a tail dependence function and an extremal coefficient of dependence between two random vectors that extend existing ones. We shall see that in weakening the usual required dependence allows to assess the amount of dependence in $d$-variate random vectors based on bidimensional techniques. Very simple estimators will be stated and can be applied to the well-known \emph{stable tail dependence function}. Asymptotic normality and strong consistency will be derived too. An application to financial markets will be presented at the end.

研究の動機と目的

• すべての成分が同時に極値に達する必要があるという、従来の多変量尾部依存測度の制限を是正する。これは過度に制限的であり、計算的にも複雑である。
• 各部分ベクトルの最大値が極値水準に達した場合に、それらの部分ベクトル間の依存関係を評価する新しい上尾根依存関数を構築する。
• 極値係数の概念を高次元設定における尾部依存のより柔軟なモデリングを可能にするために拡張する。
• 安定尾部依存関数および実世界の金融データに適用可能な、単純で一貫性があり、漸近的に正規分布に従う推定器を導出する。
• 国際的金融市場インデックスへの実証的応用を通じて、提案された測度の実用的妥当性を示す。

提案手法

• 部分ベクトル $I_1$ の最大値が $1 - x/t$ を超える条件付き確率が、部分ベクトル $I_2$ の最大値が $1 - y/t$ を超える条件のもとで、$t \to \infty$ の極限において、新しい上尾根依存関数 $\Lambda_U^{(I_1|I_2)}(x,y)$ を定義する。
• 極値係数の依存 $\epsilon_{(I_1,I_2)}$ を $\Lambda_U^{(I_1|I_2)}(1,1)$ として定義し、2変量から多変量部分ベクトル依存への古典的極値係数の拡張を実現する。
• 順位に基づく推定器を用いた経験的コプーラ推定法により極値係数を推定し、周辺分布の仮定に頑健であることを保証する。
• 理論的性質を確立する：大数の法則と経験的分布関数を用いた収束議論により、推定器の一貫性と漸近正規性を示す。
• 1993年から2004年までの9つの主要株式市場インデックスの月次最大対数リターンにこの手法を適用し、ヨーロッパ、米国、東アジアに市場をグループ化して分析する。
• 散乱図と順位に基づく推定器を用いて、地域市場グループ間の尾部依存を可視化および定量的に評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変量ベクトルの一部の成分のみが極値に達する場合に、どのように尾部依存を意味的に測定できるか？
• RQ2 すべての成分が同時に極値に達するという厳密な要件を緩和しつつも、統計的に取り扱いやすい依存測度を構築できるか？
• RQ3 提案された極値係数の依存の推定器の漸近的性質は何か？
• RQ4 提案された測度は、金融データにおける市場間依存を捉える点で、既存の尾部依存係数とどのように比較できるか？
• RQ5 提案された手法は、主要な世界的金融市場における尾部依存のパターンをどの程度明らかにするか？

主な発見

• 提案された極値係数の依存 $\epsilon_{(I_1,I_2)}$ は、順位に基づく推定器により一貫して推定され、強い一貫性と漸近正規性が証明されている。
• 金融データへの実証的応用では、米国とヨーロッパの間には強い尾部依存が認められ、$\widehat{\epsilon}_{(\text{Europe}, \text{USA})} = 1.0083$ となり、高い極値依存を示している。
• 東アジア市場は他の地域と比較して弱い依存を示し、$\widehat{\epsilon}_{(\text{Europe}, \text{Far East})} = 0.5688$ および $\widehat{\epsilon}_{(\text{USA}, \text{Far East})} = 0.3644$ であり、尾部依存が低いことが示唆されている。
• $\epsilon_{(\text{Europe}, \text{USA} \cup \text{Far East})} = 1.1259$ であることは、米国と東アジア市場の併合効果が、米国単体よりもヨーロッパに強い影響を与えていることを示しており、複雑な相互依存関係を反映している。
• この手法は非対称な依存パターンを効果的に捉えており、$\epsilon_{(\text{USA}, \text{Europe} \cup \text{Far East})} = 0.9215$ により、米国がヨーロッパに与える影響が、逆にヨーロッパが米国に与える影響よりも強いことが示されている。
• 提案された推定器は安定尾部依存関数に適用可能であり、有限標本性能も良好であることが、金融応用を通じて実証された。