[論文レビュー] Extremal ergodic measures and the finiteness property of matrix semigroups

Xiongping Dai, Yu Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素行列の有限集合のスペクトル有限性に関する必要十分条件を確立する。連続的スペクトル半径が、ある有限積のスペクトル半径に等しいための必要十分条件は、行列半群に対して極値のエルゴード測度が周期的密度点を持つことである。証明では極値ノルムとキングマンの準加法的エルゴード定理を用い、エルゴード理論と有限性性質を結びつける。周期性を持つ極値測度が、連続的スペクトル半径が有限積によって達成される条件を特徴づけることが明らかになった。

ABSTRACT

Let $\bS=\{S_1,...,S_K\}$ be a finite set of complex $d imes d$ matrices and $\varSigma_{K}^+$ the compact space of all one-sided infinite sequences $i_{\bcdot}\colon\mathbb{N} ightarrow\{1,...,K\}$. An ergodic probability $μ_*$ of the Markov shift $θ\colon\varSigma_{K}^+ ightarrow\varSigma_{K}^+;\ i_{\bcdot}\mapsto i_{\bcdot+1}$, is called "extremal" for $\bS$, if $ρ(\bS)=\lim_{n o\infty}\sqrt[n]{ orm{S_{i_1}...S_{i_n}}}$ holds for $μ_*$-a.e. $i_{\bcdot}\in\varSigma_{K}^+$, where $ρ(\bS)$ denotes the generalized/joint spectral radius of $\bS$. Using extremal norm and Kingman subadditive ergodic theorem, it is shown that $\bS$ has the spectral finiteness property (i.e. $ρ(\bS)=\sqrt[n]{ρ(S_{i_1}...S_{i_n})}$ for some finite-length word $(i_1,...,i_n)$) if and only if for some extremal measure $μ_*$ of $\bS$, it has at least one periodic density point $i_{\bcdot}\in\varSigma_{K}^+$.

研究の動機と目的

• 有限行列族の連続的スペクトル半径が有限積によって達成される（有限性性質）ための正確な条件を特定すること。
• 記号的力学系における不変測度の構造を用いて、スペクトル有限性性質をエルゴード理論的に特徴づけること。
• 特に、極値エルゴード測度の周期的密度点が、一般化スペクトル半径が有限積によって計算可能かどうかを決定する役割を明確にすること。
• 有限積による連続的スペクトル半径の計算が可能となる理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 極値エルゴード測度 μ* を、連続的スペクトル半径 ρ(S) が μ* における ||Si₁⋯Sin|| のほとんど確実な成長率に等しいものとして定義する。
• キングマンの準加法的エルゴード定理を適用し、任意の有限行列族 S に対してこのような極値測度が存在することを確立する。
• 極値ノルムを用いてスペクトル半径と行列積の成長を関連づけ、典型列に沿う積の挙動を分析する。
• 有限性性質が成り立つための必要十分条件として、ある極値測度 μ* がその台に周期的点（すべての n に対して i_{n+π} = i_n を満たす周期列 i·）を持つことであることを証明する。
• Gel’fandの公式とシリンダーセットの性質を用い、このような周期的点が存在しない場合に矛盾を導くことで、必要性を証明する。
• canonical Markovian 測度 μ_p,P を用いて、エルゴード性と台構造に基づく有限性性質の十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限行列集合の連続的スペクトル半径が、その行列の有限積のスペクトル半径に等しくなる条件は何か？
• RQ2 極値エルゴード測度の台に周期的列が存在することは、行列半群の有限性性質とどのように関係するか？
• RQ3 極値不変測度の位相的・力学的構造（特に記号的空間 Σ_K^+ 上）を用いて、有限性性質を純粋に特徴づけられるか？
• RQ4 観測不能で非マルコフ型の極値測度は、有限性性質の失敗にどのように寄与するか？
• RQ5 極値測度に周期的密度点が存在する場合、連続的スペクトル半径の安定性および計算可能性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 行列族 S に対してスペクトル有限性性質が成り立つための必要十分条件は、S に対して極値エルゴード測度 μ* がその台に少なくとも1つの周期的密度点を持つことである。
• 極値測度 μ* が周期 π の周期的密度点 i· を持つならば、ρ(S) = √[π]{ρ(S_{i₁'}⋯S_{i_π'})} が成り立ち、有限性性質が成立する。
• このような周期的点の存在は、周期列に沿う行列積の成長率が連続的スペクトル半径に達することを意味する。
• canonical Markovian 測度 μ_p,P に対して、それが極値であるならば、有限性性質が成り立つ。これは、確率的力学系に基づく十分条件を提供する。
• 有限性性質の失敗は、すべての極値エルゴード測度に周期的点が存在しないことと関連しており、反例において観測不能で非周期的測度を考慮する必要があることを示唆する。
• 本結果により、極値測度の位相的構造（特に台における周期性）が、連続的スペクトル半径が有限積によって計算可能かどうかを決定づける重要な要因であることが明らかになった。