[論文レビュー] Extremal graphs for wheels

Long‐Tu Yuan|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、十分に大きな $n$ に対して、奇数のホイール $W_{2k+1}$ の正確なツァラン数を決定し、極値グラフが特定の次数最適化分割によって構成されることを示している。さらに、2-edge-coloring における任意の単色 $W_{2k+1}$ のコピーに含まれない辺の最大数がツァラン数に一致することを確認し、キーヴァッシュとスダコフによる奇数ホイールに関する予想を検証した。

ABSTRACT

For a graph $H$, the Turán number of $H$, denoted by ex$(n,H)$, is the maximum number of edges of an $n$-vertex $H$-free graph. Let $g(n,H)$ denote the maximum number of edges not contained in any monochromatic copy of $H$ in a $2$-edge-coloring of $K_n$. A wheel $W_m$ is a graph formed by connecting a single vertex to all vertices of a cycle of length $m-1$. The Turán number of $W_{2k}$ was determined by Simonovits in the 1960s. In this paper, we determine ex$(n,W_{2k+1})$ when $n$ is sufficiently large. We also show that, for sufficiently large $n$, $g(n,W_{2k+1})=\mbox{ex}(n,W_{2k+1})$ which confirms a conjecture posed by Keevash and Sudakov for odd wheels.

研究の動機と目的

• 十分に大きな $n$ に対して、奇数ホイール $W_{2k+1}$ の正確なツァラン数 $\mathrm{ex}(n, W_{2k+1})$ を決定すること。
• キーヴァッシュとスダコフが提起した予想、すなわち $g(n, H) = \mathrm{ex}(n, H)$ が $H = W_{2k+1}$ の場合に成り立つことの解決。ここで $g(n, H)$ は $K_n$ の2-edge-coloringにおいて、任意の単色 $H$ のコピーに含まれない辺の最大数を表す。
• 極値グラフの構造を同定し、分解族に線形森林を含まないため、古典的極値グラフ理論の結果ではカバーできないことを示すこと。
• ホイール $W_{2k+1}$ の極値2-edge-coloringが、赤グラフが $W_{2k+1}$-free な極値グラフであり、青グラフがその補グラフであるようなものに限られることを確立すること。

提案手法

• $f(n,k) = \max\left\{n_0n_1 + \left\lfloor \frac{(k-1)n_0}{2} \right\rfloor + 1 : n_0 + n_1 = n \right\}$ を定義し、$W_{2k+1}$ の候補となる極値辺数とする。
• 単色 $W_{2k+1}$ を避ける $K_n$ の極値2-edge-coloring を分析する際、頂点数に関する段階的帰納法を用い、NIM-辺（非単色辺）の構造に注目する。
• 頂点集合 $V(K_n)$ を、それぞれサイズ $n/2 + O(\sqrt{n})$ の2つの大きな部分 $B_1, B_2$ と、サイズ $O(1)$ の小さな例外集合 $D$ に分割する戦略を採用する。
• $B_i \cup C_i$ に属する頂点の青辺の数に上限を設け、各頂点がその集合内で高々 $k-1$ 個の青隣接頂点しか持たないことを示し、これにより青の $W_{2k+1}$ が形成されないことを保証する。
• 補題5.3を用いて、色分けにおいて $T(2N,2)$ の青コピーを特定し、段階的帰納法を適用して、極値色分けが赤グラフが $W_{2k+1}$-free な極値グラフであるような形に限られることを示す。
• すべての辺が $V_i = B_i \cup C_i \cup D_i$ 内にあり、かつ次数が有界（$\leq k-1$）であることに着目し、極値グラフが同型を除いて一意であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 十分に大きな $n$ に対して、ツァラン数 $\mathrm{ex}(n, W_{2k+1})$ の正確な値は何か？
• RQ2 $g(n, W_{2k+1}) = \mathrm{ex}(n, W_{2k+1})$ はすべての十分に大きな $n$ に対して成り立つか？ これによりキーヴァッシュ＝スダコフ予想の奇数ホイールへの妥当性が確認される。
• RQ3 特に、$W_{2k+1}$ の分解族が線形森林を含まないという点を踏まえて、$W_{2k+1}$ の極値グラフがどのような構造的性質を持つのか？
• RQ4 単色 $W_{2k+1}$ を含まない $K_n$ の極値2-edge-coloring はどのように特徴付けられるか？
• RQ5 例外集合 $D$ は極値色分けにおいて果たす役割は何か？ そのサイズは極値辺数にどのように影響するか？

主な発見

• $k \geq 3$ のとき、$n$ が十分に大きい限り $\mathrm{ex}(n, W_{2k+1}) = f(n,k) = \max\left\{n_0n_1 + \left\lfloor \frac{(k-1)n_0}{2} \right\rfloor + 1 : n_0 + n_1 = n \right\}$ が成り立つ。
• $k = 2$ のとき、$\mathrm{ex}(n, W_5) = \left(\lceil \frac{n}{2} \rceil + 1 \right) \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor$ であり、これは完全スプリットグラフ $K_{\lceil n/2 \rceil, \lfloor n/2 \rfloor} + e$ に一致する。
• $n$ が十分に大きいすべての $n$ に対して $g(n, W_{2k+1}) = \mathrm{ex}(n, W_{2k+1})$ が成り立つ。これによりキーヴァッシュ＝スダコフ予想の奇数ホイールへの妥当性が確認された。
• $W_{2k+1}$ の極値グラフは、頂点集合が2つの部分 $V_1, V_2$（$|V_1| = n_0$, $|V_2| = n_1$, $n_0 + n_1 = n$）に分割され、$V_1$ と $V_2$ 間のすべての辺に加え、$V_1$ 内に $\left\lfloor \frac{(k-1)n_0}{2} \right\rfloor + 1$ 個の辺を持つものとして特徴付けられる。これは $W_{2k+1}$-free な条件下での辺数の最大化を実現する。
• 単色 $W_{2k+1}$ を含まない $K_n$ の極値2-edge-coloring は、赤グラフが $W_{2k+1}$-free な極値グラフであり、青グラフがその補グラフであるようなものに限られる。赤グラフは $W_{2k+1}$ の唯一の極値グラフである。
• 段階的帰納法における例外集合 $D$ のサイズは定数 $N_1$ で有界であり、$B_i \cup C_i$ に属するすべての頂点は、自身の集合内で高々 $k-1$ 個の青隣接頂点しか持たない。これにより、青の $W_{2k+1}$ が形成されないことが保証される。