[論文レビュー] Extremal $H$-free planar graphs

Yongxin Lan, Yongtang Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、与えられたグラフ $H$ を部分グラフとして含まない極値平面グラフを調査し、$n$ 頂点上の $H$-フリー平面グラフにおける辺数の最大化を目的としている。$n \geq |H|$ のすべての $n$ に対して $ \mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H) = 3n-6$ が成り立つ十分条件を確立し、ホイールやスターダムの場合は $ \mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$ を完全に特定し、$(t,r)$-ファンの場合はタイトな境界を提供するが、平面的で部分3正則なグラフの場合は未解決のまま残っている。

ABSTRACT

Given a graph $H$, a graph is $H$-free if it does not contain $H$ as a subgraph. We continue to study the topic of "extremal" planar graphs, that is, how many edges can an $H$-free planar graph on $n$ vertices have? We define $ex_{_\mathcal{P}}(n,H)$ to be the maximum number of edges in an $H$-free planar graph on $n $ vertices. We first obtain several sufficient conditions on $H$ which yield $ex_{_\mathcal{P}}(n,H)=3n-6$ for all $n\ge |V(H)|$. We discover that the chromatic number of $H$ does not play a role, as in the celebrated Erdős-Stone Theorem. We then completely determine $ex_{_\mathcal{P}}(n,H)$ when $H$ is a wheel or a star. Finally, we examine the case when $H$ is a $(t, r)$-fan, that is, $H$ is isomorphic to $K_1+tK_{r-1}$, where $t\ge2$ and $r\ge 3$ are integers. However, determining $ex_{_\mathcal{P}}(n,H)$, when $H$ is a planar subcubic graph, remains wide open.

研究の動機と目的

• $n$ 頂点上の $H$-フリー平面グラフにおける辺数の最大値、すなわち $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$ を特定すること。
• すべての $n \geq |H|$ に対して $ \mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H) = 3n - 6$ が成り立つような $H$ に関する十分条件を同定すること。
• $H$ がホイールまたはスターダムである場合に $ \mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$ を完全に特定すること。
• $H$ が $(t,r)$-ファン、すなわち $K_1 + tK_{r-1}$（$t \geq 2$, $r \geq 3$）である場合の極値関数を分析すること。
• 特に平面的で部分3正則なグラフの場合は未解決の問題を特定すること。

提案手法

• Eulerの公式と面数の数え上げを用いて、$H$-フリー平面グラフにおける辺数の上界を導出する。
• $H$-フリー制約下での頂点次数と面の接続関係、特に3辺形の分析。
• 構造的グラフ理論を応用し、さまざまな次数の頂点に接続する3辺形の数を制限する。
• 特定の $H$ に対してタイトな下界を得るために、極値グラフ（例：$G_k$）の再帰的構成。
• $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,K_1 + P_t)$（$t \in \{4,5,6\}$）に対して、帰納法を用いた証明により上界を確立する。
• $G$ が $(K_1 + 3K_2)$-フリーであるという事実を用いて、高次元頂点に接続する3辺形の数を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような $H$ の条件下で、すべての $n \geq |H|$ に対して $ \mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H) = 3n - 6$ が成り立つか？
• RQ2 $H$ がホイールまたはスターダムである場合、$ \mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$ の正確な値は何か？
• RQ3 $H = K_1 + tK_{r-1}$（すなわち $(t,r)$-ファン）の場合の極値関数は何か？$t \geq 2$, $r \geq 3$。
• RQ4 平面的で部分3正則なグラフ $H$ の場合に、$ \mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$ のタイトな境界を確立できるか？
• RQ5 $H$ の彩色数が $ \mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$ に与える影響は何か？この設定では彩色数が極値関数に影響しないが。

主な発見

• $H$-フリー平面グラフにおいて、$H$ が $K_4$-フリーであり、次数または彩色数に関するいくつかの条件（例：$\chi(H) = 4$ かつ $n \geq |H| + 2$）を満たす場合、$ \mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H) = 3n - 6$ が成り立つ。
• $H$ がホイールまたはスターダムである場合、極値関数 $ \mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$ は完全に特定され、正確な公式が導出された。
• $(t,r)$-ファン（$t \geq 2$, $r \geq 3$）の場合、本稿ではタイトな上界と下界が提供され、$ \mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H) = \Theta(n)$ であることが示された。
• $n = 24(k+1)$ 頂点と $67n/24 - 4$ 辺を持つ $G_k$ の構成により、$ \mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,K_1 + 3K_2)$ の下界が $n$ が 24 で割り切れるとき、改善可能であることが示された。
• $t \in \{4,5,6\}$ の場合、帰納法と面数の数え上げを用いて、$ \mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,K_1 + P_t) \leq \frac{13(t-1)n}{4t-2} - \frac{12(t-1)}{2t-1}$ という上界が確立された。
• 平面的で部分3正則なグラフ $H$ に対して $ \mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$ を特定する問題は未解決のまま残っている。