[論文レビュー] Extremal Theta-free planar graphs

Yongxin Lan, Yongtang Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\theta_k$-free な平面的グラフにおける最大辺数のタイトな上界を決定し、$\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_4) \leq 12(n-2)/5$、$\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_5) \leq 5(n-2)/2$、$\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_6) \leq 18(n-2)/7$ を証明する。これらすべての不等式は、無限に多くの $n$ に対して等号が成立する。結果は、面数の数え上げとオイラーの公式を用いて得られ、等号は $K_5^-$ と 6-面からなる特定の極値平面的グラフで達成される。

ABSTRACT

Given a family $\mathcal{F}$, a graph is $\mathcal{F}$-free if it does not contain any graph in $\mathcal{F}$ as a subgraph. We study the topic of "extremal" planar graphs initiated by Dowden [J. Graph Theory 83 (2016) 213--230], that is, how many edges can an $\mathcal{F}$-free planar graph on $n$ vertices have? We define $ex_{_\mathcal{P}}(n,\mathcal{F})$ to be the maximum number of edges in an $\mathcal{F}$-free planar graph on $n $ vertices. Dowden obtained the tight bounds $ex_{_\mathcal{P}}(n,C_4)\leq15(n-2)/7$ for all $n\geq4$ and $ex_{_\mathcal{P}}(n,C_5)\leq(12n-33)/5$ for all $n\geq11$. In this paper, we continue to promote the idea of determining $ex_{_\mathcal{P}}(n,\mathcal{F})$ for certain classes $\mathcal{F}$. Let $Θ_k$ denote the family of Theta graphs on $k\ge4$ vertices, that is, graphs obtained from a cycle $C_k$ by adding an additional edge joining two non-consecutive vertices. The study of $ex_{_\mathcal{P}}(n,Θ_4)$ was suggested by Dowden. We show that $ex_{_\mathcal{P}}(n,Θ_4)\leq12(n-2)/5$ for all $n\geq 4$, $ex_{_\mathcal{P}}(n,Θ_5)\leq5(n-2)/2$ for all $n\ge5$, and then demonstrate that these bounds are tight, in the sense that there are infinitely many values of $n$ for which they are attained exactly. We also prove that $ex_{_\mathcal{P}}(n,C_6)\le ex_{_\mathcal{P}}(n,Θ_6)\le 18(n-2)/7$ for all $n\ge6$.

研究の動機と目的

• 4 以上の $k$ に対して $\Theta_k$ を避ける極値平面的グラフを特定するという未解決問題に取り組み、ドウデンの平面的タウラン数に関する基礎的研究を拡張する。
• $\mathcal{F}$ が $\theta_k$-グラフの族であるとき、$\mathcal{F}$-free な平面的グラフにおける辺数の最大値に対するタイトな上界を確立する。
• 等号が無限に多くの $n$ に対して達成されることを示すことで、導出された境界が漸近的にタイトであることを証明する。
• 特に、$\mathcal{H} = \{H-e \mid e \in E(H)\}$ の関係を介して、平面的タウラン数と平面的アンチラマシー数の関係を調査する。$1 + \text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\mathcal{H}) \leq \text{ar}_{\mathcal{P}}(n,H) \leq \text{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$ が成り立つ。
• 境界に到達する極値グラフの構造的特徴を明らかにする。特に、$K_5^-$ と 6-面からなる $\Theta_6$-free グラフについて。

提案手法

• 平面的グラフ $G$ における頂点数、辺数、面数の関係を表すオイラーの公式 $n - 2 \geq e(G) - f$ を適用する。
• 面数の数え上げ技術を用い、隣接する面間の辺の分布を分析することで、$i$-面 ($f_i$) の数を制限する。特に、$i$-面と $j$-面が共有する辺の集合 $E_{i,j}$ を考察する。
• 特定の面隣接パターン（例：$\Theta_6$-freeness の場合、3-面が 5-面に隣接することはできない）を含まないため、$\Theta_k$-free グラフでは制約が生じることを確立する。
• $K_5^-$-free グラフは特定の部分グラフ構成（図 4b）を含まないため、3-面の数とその隣接関係が制限され、よりタイトな境界が得られることを用いる。
• 極値グラフから $K_5^-$ 部分グラフに属する頂点を削除することで導出グラフ $G'$ を構成し、残りの面の構造を分析し、等号が成立すると仮定した場合に矛盾を導く。
• 面数と辺数の数え上げを次数制約と組み合わせ、最小次数 $\delta(G') = 2$ であることを示し、このようなグラフは $\Theta_6$ 部分グラフを含む必要があるため、$\Theta_6$-freeness に矛盾することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点数 $n$ の $\Theta_4$-free 平面的グラフにおける最大辺数は何か？ そしてこの境界はタイトか？
• RQ2 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_5)$ の漸近的挙動は何か？ そしてこの境界はどの $n$ で等号が成立するか？
• RQ3 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_6)$ のタイトな上界は何か？ そしてこの境界は無限に多くの $n$ で達成可能か？
• RQ4 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_6) \leq 18(n-2)/7$ の境界を改善できるか？ また、$K_5^-$-free グラフでは等号が成立しない理由となる構造的性質は何か？
• RQ5 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,C_6)$ は $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_6)$ で上から抑えられるか？ そして、どの $n$ で等号が成立するか？

主な発見

• 頂点数 $n$ の $\Theta_4$-free 平面的グラフにおける最大辺数は、すべての $n \geq 4$ に対して $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_4) \leq 12(n-2)/5$ を満たし、無限に多くの $n$ に対して等号が成立する。
• $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_5) \leq 5(n-2)/2$ はすべての $n \geq 5$ に対して成り立ち、無限に多くの $n$ で等号が成立する。
• $\Theta_6$-free 平面的グラフでは、すべての $n \geq 6$ に対して $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_6) \leq 18(n-2)/7$ が成り立ち、$n = 9$ のとき等号が成立する。
• $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_6) \leq 18(n-2)/7$ の等号が成立するのは、極値グラフが $K_5^-$ と 6-面から成り、それらが共有する辺を持たない場合に限るが、このようなグラフは $\Theta_6$ 部分グラフを含むため、等号は達成不可能である。
• $C_6$-free グラフはすべて $\Theta_6$-free であるため、$\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,C_6) \leq 18(n-2)/7$ が成り立ち、$n = 9$ で等号が成立する。
• $18(n-2)/7$ の辺数に到達する極値 $\Theta_6$-free グラフが存在するならば、その導出グラフ $G'$ は最小次数 2 であり、3-面と 6-面が交互に配置されている必要があるが、このようなグラフは $\Theta_6$ 部分グラフを含むため、$\Theta_6$-freeness に矛盾する。