[論文レビュー] Extremal rays and nefness of tangent bundles

Akihiro Kanemitsu|arXiv (Cornell University)|May 16, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、極小 extremal レイに再帰的条件（条件 $*$）を満たす Fano $n$-fold で、Picard 数 $ ho_X > n-6$ を満たすものについて分類し、それらが有理均質的多様体か、または一意に定まる Ottaviani が構成した Fano 7-fold $X_0$ と $P^1$ の $n-7$ 重積であることを示している。主な貢献は、$X_0$ が非ネフな接束を持つことを証明し、Fano 多様体が条件 $*$ を満たせば有理均質的であるという予想に対して反例を提供するとともに、Campana-Peternell 予想の鋭い境界を確立したことにある。

ABSTRACT

In view of Mori theory, rational homogenous manifolds satisfy a recursive condition: every elementary contraction is a rational homogeneous fibration and the image of any elementary contraction also satisfies the same property. In this paper, we show that a smooth Fano $n$-fold with the same condition and Picard number greater than $n-6$ is either a rational homogeneous manifold or the product of $n-7$ copies of $\mathbb{P}^1$ and a Fano $7$-fold $X_0$ constructed by G. Ottaviani. We also clarify that $X_0$ has non-nef tangent bundle and in particular is not rational homogeneous.

研究の動機と目的

• 条件 $*$ を満たす Fano $n$-fold を分類すること。条件 $*$ とは、すべての基本的収縮が有理均質的ファイブレーションであることを要請する。
• 高い Picard 数を持つこのような Fano 多様体が必ず有理均質的であるかどうかを検証し、Campana-Peternell 予想の自然な一般化に挑戦すること。
• Ottaviani が構成した Fano 7-fold $X_0$ が、条件 $*$ が有理均質性を意味するという予想に対する反例として果たす役割を明確にすること。
• Fano 多様体のネフ接束に関する Campana-Peternell 予想に対して鋭い境界を確立すること。$ _X > n-6$ が、予想が成立しなくなる可能性がある閾値であることを示す。

提案手法

• Fano バンドルのランクが 3 より大きい場合の、射影バンドル上の交点数を解析するため、ベクトルバンドルの不変量 $d_i(\mathscr{E})$ と $\Delta_i(\mathscr{E})$ を導入する。
• Fano バンドルの勾配理論と勾配に関する数値的条件を用い、5 次元の二次曲面の上に 2 つの異なる $\mathbb{P}^2$-ファイブレーション構造を持つことによって、Fano 7-fold $X_0$ を特徴付ける。
• Demailly-Peternell-Schneider や Muñoz らの結果を応用し、低次元の Fano 多様体に関する仮定の下で、接束のネフ性と条件 $*$ の関係を確立する。
• 次元 $n$ についての帰納法を用い、基本的収縮の構造を利用して、分類を既知の均質的ケース、または $X_0$ との積に還元する。$X_0$ の一意性を活用する。
• 収縮の可換図式におけるファイバー積やカルテジアン・スクエアの幾何を分析し、積構造やフラッグに類似したファイブレーションを導出する。
• Picard 数が 1 で次元が 6 以下の Fano 多様体に関する既知の結果を用い、収縮の系列におけるすべてのファイバーと像が条件 $*$ を満たすことを帰納的に検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Picard 数 $ _X > n-6$ かつ条件 $*$ を満たすすべての Fano $n$-fold は、必ず有理均質的多様体であるか？
• RQ2 Ottaviani が構成した Fano 7-fold $X_0$ は条件 $*$ を満たすか？ また、Picard 数が 2 で、5 次元の二次曲面の上に 2 つの異なる $\mathbb{P}^2$-ファイブレーションを持つような Fano 7-fold として、$X_0$ は唯一つであるか？
• RQ3 $X_0$ の接束はネフか？ これは Campana-Peternell 予想（Fano 多様体の接束がネフである場合）にどのような含意を持つのか？
• RQ4 Campana-Peternell 予想を $ _X > n-6$ を満たす Fano $n$-fold に拡張できるか？ その有効性の鋭い閾値は何か？
• RQ5 反例 $X_0$ の存在は、Picard 数が高くても、接束がネフであるという性質が条件 $*$ のみから導かれないことを示唆するか？

主な発見

• Ottaviani が構成した Fano 7-fold $X_0$ は、Picard 数が 2 で、5 次元の二次曲面の上に 2 つの異なる滑らかな $\mathbb{P}^2$-ファイブレーションを持つ唯一の Fano 7-fold であり、条件 $*$ を満たす。
• $X_0$ の接束はネフでない。これにより、$X_0$ が有理均質的でないことが示され、条件 $*$ が有理均質性を意味するという予想に対する反例が得られた。
• Picard 数 $ _X > n-6$ かつ条件 $*$ を満たすすべての Fano $n$-fold は、有理均質的多様体、または $(\mathbb{P}^1)^{n-7} \times X_0$ に同型である。これにより完全な分類が得られた。
• $X_0$ の存在により、$ _X > n-6$ が鋭い境界であることが示された。Fano $n$-fold が $ _X > n-6$ を満たすからといって、必ずしも有理均質的とは限らない。
• 6 次元の Fano 多様体で Picard 数が 1 の場合に Campana-Peternell 予想が成り立つならば、$ _X > n-6$ を満たすすべての Fano $n$-fold についても成り立つ。これは Picard 数に関する帰納的還元により示された。
• 反例 $X_0$ は、$q=1$ の場合に問題 0.4 に対して否定的解答を与える。すなわち、$igwedge^q T_X$ が extremal な有理曲線上でネフであっても、$igwedge^q T_X$ が全体でネフであるとは限らない。