[論文レビュー] Extreme value copula estimation based on block maxima of a multivariate stationary time series

Axel Bücher, Johan Segers|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2013

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 34被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、多次元 Stationary 時系列からのブロック最大値を用いた、極値コプスラの非パラメトリック推定法を提案する。弱い依存性条件（絶対的正則性混合）の下で、ブロック最大値の経験コプスラは真の極限極値コプスラに収束し、これは一貫性と漸近正規性を有する。この枠組みにより、パラメトリック仮定なしにピカーンズ依存関数のランクベース推定が可能になる。

ABSTRACT

The core of the classical block maxima method consists of fitting an extreme value distribution to a sample of maxima over blocks extracted from an underlying series. In asymptotic theory, it is usually postulated that the block maxima are an independent random sample of an extreme value distribution. In practice however, block sizes are finite, so that the extreme value postulate will only hold approximately. A more accurate asymptotic framework is that of a triangular array of block maxima, the block size depending on the size of the underlying sample in such a way that both the block size and the number of blocks within that sample tend to infinity. The copula of the vector of componentwise maxima in a block is assumed to converge to a limit, which, under mild conditions, is then necessarily an extreme value copula. Under this setting and for absolutely regular stationary sequences, the empirical copula of the sample of vectors of block maxima is shown to be a consistent and asymptotically normal estimator for the limiting extreme value copula. Moreover, the empirical copula serves as a basis for rank-based, nonparametric estimation of the Pickands dependence function of the extreme value copula. The results are illustrated by theoretical examples and a Monte Carlo simulation study.

研究の動機と目的

• 弱い依存性の下で、多次元ブロック最大値の極限極値コプスラに対する一貫性と漸近正規性を持つ推定量を開発すること。
• 古典的理論が独立性を仮定するのに対し、ブロック最大値が依存している場合でも、ブロック最大値の経験コプスラが有効であることを確立すること。
• 経験コプスラを基盤として、ピカーンズ依存関数の非パラメトリック推定を可能とすること。
• i.i.d. 仮定を越えて、一般の Stationary で弱い依存性を示す多次元時系列へのブロック最大値法の拡張。
• ブロック最大値が概ね極値分布に従い、弱い依存性を示す時系列における極値分析の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• ブロックサイズとブロック数の両方が無限に発散する三角行列のブロック最大値を用いる。
• ブロック最大値ベクトルの経験コプスラを、極限極値コプスラの非パラメトリック推定量として採用する。
• 絶対的正則性の下で、経験コプスラ過程がガウス過程に弱収束することを弱収束理論を用いて示す。
• 最小距離推定を用いて、経験コプスラを基にピカーンズ依存関数を推定する。
• 極限過程が真の極限コプスラからの独立標本と漸近的に同等であることを根拠とする。
• 特に絶対的正則性（β-混合）を含む一般の混合条件の下で収束結果を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元の時系列が i.i.d. ではなく弱い依存性を示す場合、ブロック最大値の経験コプスラは一貫性と漸近正規性を保つのか？
• RQ2 時系列設定における時間的依存性を考慮した場合、経験コプスラを用いてピカーンズ依存関数を非パラメトリックに推定できるか？
• RQ3 ブロックサイズとブロック数を増加させる三角行列漸近論の下で、経験コプスラ過程の極限分布は何か？
• RQ4 時間的依存性は、i.i.d. の場合と比較して経験コプスラの漸近分布にどのような影響を与えるか？
• RQ5 弱い依存性を示す多次元時系列において、ブロック最大値のコプスラが極値コプスラに収束する条件は何か？

主な発見

• 絶対的正則性の下で、ブロック最大値の経験コプスラは極限極値コプスラの推定量として一貫性と漸近正規性を有する。
• 経験コプスラ過程の極限過程は、ブロック最大値が極限コプスラからの独立標本である場合と同じガウス過程である。
• ピカーンズ依存関数の最小距離推定量の漸近分布も、i.i.d. の場合と同じである。
• 極限極値コプスラは必ず最大安定性を有し、その依存構造はピカーンズ依存関数によって特徴づけられる。
• 経験コプスラは (0,1]^d のコンパクト部分集合上で、極限極値コプスラに一様収束する。
• 理論的枠組みは、ブロック最大値を多次元極値分析に用いる正当性を裏付ける。これは、ブロック最大値が依存的であり、かつ概ね極値分布に従う場合にも適用可能である。