[論文レビュー] Extremes of $\gamma$-reflected Gaussian process with stationary increments

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2015

Probability and Risk Models被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、定常増分を示すγ反射ガウス過程の上限確率の尾確率について、ピケンズおよびピトルバーグ不等式の拡張版を用いて漸近展開を確立する。リスク理論における破産確率の正確な漸近的性質および最初・最後の通過時刻の近似を導出し、一般化されたピトルバーグ定数が税あり・なしのモデル間の漸近的課税同等性を支配することを示している。特に、分数 Browm運動および統合ガウス過程において顕著である。

ABSTRACT

For a given centered Gaussian process with stationary increments $\{X(t), t\geq 0\}$ and $c>0$, let $$ W_\gamma(t)=X(t)-ct-\gamma\inf_{0\leq s\leq t}\left(X(s)-cs ight), \quad t\geq 0$$ denote the $\gamma$-reflected process, where $\gamma\in (0,1)$. This process is introduced in the context of risk theory to model surplus process that include tax payments of loss-carry forward type.In this contribution we derive asymptotic approximations of both the ruin probability and the joint distribution of first and last passage times given that ruin occurs. We apply our findings to the cases with $X$ being the multiplex fractional Brownian motion and the integrated Gaussian processes. As a by-product we derive an extension of Piterbarg inequality \KD{for} threshold-dependent random fields.

研究の動機と目的

• u → ∞ のとき、$ \mathbb{P}(\sup_{0\leq t\leq T} W_\gamma(t) > u) $ の正確な漸近展開を導出すること。ここで $ W_\gamma $ は定常増分を示すγ反射ガウス過程である。
• 大閾値 $ u $ における最初および最後の通過時刻の極限的挙動を、特に破産時刻の近似の文脈で調査すること。
• 非自己相似設定における閾値依存ガウス確率場に対して、古典的な極値理論の結果（特にピケンズおよびピトルバーグ不等式）を拡張すること。
• 一般化されたピトルバーグ定数を用いて、漸近的破産確率 $ \psi_{\gamma,\infty}(u) $ を特徴づけ、税あり・なしのモデル間の正確な漸近的課税同等性を確立すること。
• 分数 Browm運動や統合ガウス過程などの具体的な過程に結果を適用し、極限 $ \phi = \lim_{u\to\infty} \sigma^2(u)/u $ に基づく依存構造駆動の三重性（三様式）を明らかにすること。

提案手法

• 中心化された定常増分を示すガウス過程 $ X $ と $ \gamma \in (0,1) $ を用いて、$ W_\gamma(t) = X(t) - ct - \gamma \inf_{0\leq s\leq t} (X(s) - ct) $ としてγ反射過程を定義し、税やフロント・キューイングをモデル化する。
• 元の過程のスケーリングから生じる閾値依存確率場 $ Y_u(s,t) = \frac{X(tu) - \gamma X(su)}{1 + ct - c\gamma s} $ の上限を分析するため、一様な二重和法を適用する。
• ピケンズ・ピトルバーグ補題（補題5.3）の一様版を構築し、非自己相似条件下での漸近的解析を可能にするようにピトルバーグ不等式（補題5.1）を閾値依存ガウス場に拡張する。
• 分散関数 $ \sigma^2(t) $ に正則変動条件を課し、$ \sigma^2(t) \sim t^{2\alpha_0} $ を原点近傍で、$ \sigma^2(t) \sim t^{2\alpha_\infty} $ を無限大近傍で仮定することで、漸近的展開を導出する。
• 極限 $ \phi = \lim_{u\to\infty} \sigma^2(u)/u \in [0,\infty] $ に基づき、三つの明確に異なる漸近的状態（短距離依存、ブラウン運動的、長距離依存）を同定する。
• 一般化されたピトルバーグ定数 $ P_a^Z $ を、$ \mathbb{E}\left[\sup_{t\in[0,\infty)} \exp\left(\sqrt{2}Z(t) - (1+a)\mathrm{Var}(Z(t))\right)\right] $ として定義し、税あり・なしの破産確率間の漸近的同等性を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 下位過程 $ X $ の依存構造、特に $ \phi = \lim_{u\to\infty} \sigma^2(u)/u $ を通じて、γ反射ガウス過程の上限の漸近的挙動はどのように依存するか？
• RQ2 無限時間枠における破産確率 $ \psi_{\gamma,\infty}(u) = \mathbb{P}(\sup_{t\geq 0} W_\gamma(t) > u) $ の正確な漸近的展開は何か？ そして、税なしの状況における破産確率とどのように関係するか？
• RQ3 破産が発生した条件下で、最初および最後の通過時刻 $ \tau_1(u) $ および $ \tau_2(u) $ の漸近的分布はどのように振る舞い、税率 $ \gamma $ はそれらの極限分布に影響を与えるか？
• RQ4 ピケンズ・ピトルバーグ補題やピトルバーグ不等式といった古典的極値結果は、非自己相似過程から生じる閾値依存ガウス確率場に拡張可能か？
• RQ5 一般化されたピトルバーグ定数 $ P_a^Z $ は、税あり・なしのモデル間の漸近的同等性を支配する役割を果たすが、分数 Browm運動におけるハース指数 $ H $ に応じてどのように変化するか？

主な発見

• 漸近的破産確率 $ \psi_{\gamma,\infty}(u) $ の挙動は、$ \phi = \lim_{u\to\infty} \sigma^2(u)/u $ によって決定される三重性を示し、$ \phi \in (0,\infty) $、$ \phi = 0 $、$ \phi = \infty $ に対応してそれぞれブラウン運動的、短距離依存、長距離依存の異なる漸近的状態が生じる。
• ハース指数 $ H \in (0,1) $ の分数 Browm運動に対しては、漸近的破産確率が $ \psi_{\gamma,\infty}(u) \sim P_\gamma^{V_\phi} \psi_{0,\infty}(u) $ を満たす。ここで $ \gamma := (1-\gamma)/\gamma $ であり、$ V_\phi $ は $ \phi $ に依存する定数である。これにより、漸近的課税同等性が確立される。
• 一般化されたピトルバーグ定数 $ P_a^Z $ は、税あり・なしの破産確率間のスケーリングを支配し、$ H = 1/2 $ および $ H = 1 $ に対して明示的な表現が得られ、一般の $ H \in (0,1) $ に対しても境界が提供されている。
• 破産が発生した条件下で、最初および最後の通過時刻 $ \tau_1(u) $ および $ \tau_2(u) $ は、$ u \to \infty $ のとき同じ極限分布に従う。これは $ \gamma $ に依存せず、$ \gamma = 0 $ の場合に既知であった結果を拡張する。
• 本稿ではピケンズ・ピトルバーグ補題の一様拡張および閾値依存ピトルバーグ不等式の拡張を確立し、これらは本研究の設定を超えて、他の閾値依存ガウス場の家族にも一般に適用可能な道具である。
• 有限時間枠の場合 $ \psi_{\gamma,T}(u) $ において、上限は $ t = T $ の近傍に漸近的に集中する。また、分散関数 $ \sigma_{1,u}(s,t) $ の最大値は $ (0,T) $ の小さな近傍で達成され、$ u \to \infty $ のとき $ \sigma^2(T) $ に近づく。