[論文レビュー] Extrinsic geometric flows on foliated manifolds, III

Vladimir Rovenski|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、codimension-oneのfoliated多様体上での外的幾何的フロー（EGF）を導入し、解析する。リーマン計量は第二基本形式から導かれるテンソルの共変微分に従って変化する。このフローは2階の放物型PDEを生成し、解の短時間存在性と一意性を保証する。適切な条件下で収束が示され、平均曲率の指定や、計量の変形による調和的または umbilical な foliation の構成が可能になる。

ABSTRACT

We study the geometry of a codimension-one foliation with a time-dependent Riemannian metric. The work begins with formulae concerning deformations of geometric quantities as the Riemannian metric varies along the leaves of the foliation. Then the Extrinsic Geometric Flow depending on the second fundamental form of the foliation is introduced. Under suitable assumptions, this evolution yields the second order parabolic PDEs, for which the existence/uniquenes and in some cases convergence of a solution are shown. Applications to the problem of prescribing mean curvature function of a codimension-one foliation, and examples with harmonic and umbilical foliations (e.g., foliated surfaces) and with twisted product metrics are given.

研究の動機と目的

• foliated多様体上での幾何的フローを構築し、計量が第二基本形式に従って変化するようにし、外的幾何的性質を制御可能にする。
• 適切な仮定の下で、得られる2階放物型PDEの解の存在と一意性を確立する。
• このフローを、codimension-one foliationの平均曲率関数を計量変形によって指定する問題に応用する。
• フローが、foliationを調和的、umbilical、または完全測地的にする計量へ収束するかを検討する。
• foliated曲面やねじれ付き積計量を含む明示的な例を提示し、フローの挙動と安定性を示す。

提案手法

• 外的幾何的フローは、∂ₜgₜ = ∇ₙᵗ h(bₜ) として定義され、h(b) は第二基本形式 bₜ から導かれる対称的かつF-切断された(0,2)-テンソルである。
• フローは、横断的ベクトル場Nに沿った共変微分に伴う計量の1階微分を含むため、2階の弱線形放物型PDEを生成することが示される。
• 主曲率のべき和τⱼを状態変数として用い、∂ₜτᵢおよび空間微分∂ₓτⱼ や ∂ₓₓτⱼ を含むPDE系の解析が行われる。
• テンソルh(b)における係数fₘの特定の選択により、系は熱方程式や行列係数Bₙ,₁を伴う一般化された放物型系に簡略化される。
• PDE系の構造と固有値を解析するため、一般化された同伴行列とべき和の再帰的関係が用いられる。
• 局所的解の存在と一意性は放物型PDE理論により保証され、初期計量およびフローのパrameterに関する条件下で収束が検討される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 foliated多様体上の与えられた初期適応リーマン計量に対して、外的幾何的フローが一意な解をもたらす条件は何か？
• RQ2 外的幾何的フローを用いて、codimension-one foliationの望ましい平均曲率関数を指定できるか？
• RQ3 フローは、foliationが調和的、umbilical、または完全測地的になる計量へ収束するか？
• RQ4 主曲率のべき和はフロー下でどのように変化するか？その動的を支配するPDE系は何か？
• RQ5 フローを記述するPDE系の構造は何か？その固有値はfoliationの主曲率とどのように関係するか？

主な発見

• 外的幾何的フロー ∂ₜgₜ = ∇ₙᵗ h(bₜ) は、2階の弱線形放物型PDE系を生成し、初期適応計量に対して短時間の存在と一意性を保証する。
• fₘ = -2δₘ₁ の場合、フローは熱方程式 ∂ₜτᵢ = ∂ₓₓ²τᵢ に簡略化され、その解は既知であり安定である。
• fₘ = -δₘ₂ の場合、n-切断系は ∂ₜτ̲ = Bₙ,₁ ∂ₓₓ²τ̲ + a₂(τ̲, ∂ₓτ̲) の形を取り、行列Bₙ,₁はn=2のとき固有値kⱼを、n=3のとき固有値kⱼ, 2kⱼ, 3kⱼ²をもつ。
• fₘ = -δₘ₃ の場合、系は ∂ₜτ̲ = -3/2 (Bₙ,₁)² ∂ₓₓ²τ̲ + a₃(τ̲, ∂ₓτ̲) に変わる。行列 3/2(B₃,₁)² は固有値 3/2 kⱼ² (j=1,2,3) をもつ。
• 切断されたPDE系における係数行列の固有値は、主曲率またはそのべきと一致し、foliationの幾何に整合したスペクトル的構造を示している。
• フローは、次のような重要な幾何的性質を保存する：umbilical性（A = λ id）、完全測地性（A = 0）、リーマン構造（∇ₙN = 0）