[論文レビュー] F-isocrystal and syntomic regulators via hypergeometric functions

Masanori Asakura, Kazuaki Miyatani|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$W(\overline{\mathbb{F}}_p)$ 上で定義されたハイパージオメトリックファイブレーションのクラスに対して、ハイパージオメトリック関数と $F$-イソクラストを用いて、$p$-進的記述を明示的に与える。主な結果は、シントミック・レギュレーターを一般化されたハイパージオメトリック関数 ${}_2F_1$ を用いて表現し、$p$-進的レギュレーターとド・ラームコホモロジー上のフロベニウス作用の観点からコレルマン積分と関連付けるものである。

ABSTRACT

We give an explicit description of a syntomic regulator of a certain class of fibrations which we call hypergeometric fibrations. The description involves hypergeometric functions.

研究の動機と目的

• ベイリンソンの $p$-進レギュレーター結果を、ベティ／アーキメデス的設定からシントミックコホモロジーを用いた $p$-進的設定へ拡張すること。
• ハイパージオメトリックファイブレーションの $K_2$-類に対して、$W(\overline{\mathbb{F}}_p)$ 上で定義されたシントミック・レギュレーター $\mathrm{reg}_{\mathrm{syn}}(\xi)$ の明示的記述を与えること。
• $F$-イソクラスト理論とフロベニウス作用を介して、シントミック・レギュレーターとハイパージオメトリック関数 ${}_2F_1$ の間の関係を確立すること。
• 収束関数とフロベニウス行列を用いて、曲線上の $K_2$-記号に対するコレルマン積分公式の $p$-進類似を導出すること。

提案手法

• ファイブレーション $f: X \to \mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\}$ 上の $K_2$-記号 $\xi$ から、シントミック・レギュレーターを拡張データとして含むフィルター付き $F$-イソクラストの拡張を構成する。
• $H^1_{\mathrm{dR}}(X_\alpha/K)$ 上のフロベニウス作用の全行列（非対角成分を含む）を計算し、レギュレーターの微分方程式を導出する。
• フロベニウス作用と接続の可換性を用いて、$p$-回目のフロベニウス $\phi$ 及びそのコホモロジー上での作用を介して、レギュレーターを支配する方程式系を導出する。
• 退化ファイバー $f^{-1}(0)$ 上でのレギュレーターの計算により定数項を特定する。これには $p$-進ディログラム $\ln^{(p)}_2(z)$ が関与する。
• 収束関数 $\varepsilon_i^{(n)}(\lambda)$ を用いてレギュレーターを表現し、$A^{\sigma^{-k}}$ 行列を含む $p$-進再帰的級数を用いて $s_{i,\alpha}^{(n)}$ を解く。
• $p$-進レギュレーター $r_p$ を介してコレルマン積分と関連づけ、$r_p\{h_1,h_2\}(\omega_n) = \pm(\alpha - \alpha^2)^{-1} s_{2,\alpha}^{(n)}$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパージオメトリックファイブレーション上の $K_2$-記号のシントミック・レギュレーターを $p$-進コホモロジーで明示的に記述する方法は何か？
• RQ2 ハイパージオメトリック関数 ${}_2F_1$ は、このようなファイブレーションにおける $p$-進シントミック・レギュレーターをパラメトライズする役割を果たすか？
• RQ3 $H^1_{\mathrm{dR}}$ 上のフロベニウス作用は、$F$-イソクラスト拡張を介してレギュレーターの情報をどのように符号化するか？
• RQ4 コレルマン積分は、$p$-進レギュレーターを介して、ハイパージオメトリック関数を用いて表現可能か？
• RQ5 $p$-進再帰的級数としてのレギュレーター成分 $s_{i,\alpha}^{(n)}$ の正確な表現は、収束関数およびフロベニウスのずれを用いてどのように得られるか？

主な発見

• Corollary 5.5 において、シントミック・レギュレーター $\mathrm{reg}_{\mathrm{syn}}\{h_1,h_2\}|_{\lambda=\alpha}$ は行列 $F_{ij}(\lambda)$ を用いて、ハイパージオメトリック関数 ${}_2F_1$ で明示的に表現される。
• $s_{i,\alpha}^{(n)}$ は再帰的 $p$-進級数に従う：$p^{-1}\begin{pmatrix}s_1^{(n)}\\ s_2^{(n)}\end{pmatrix} = -\sum_{k=1}^\infty p^{k-1} A^{\sigma^{-1}} \cdots A^{\sigma^{-k}} \mathbf{e}^{\sigma^{-k}}$ であり、$A$ は $F_{ij}(\lambda)$ から構成される行列である。
• $p$-進レギュレーター $r_p\{h_1,h_2\}(\omega_n)$ は $\pm(\alpha - \alpha^2)^{-1} s_{2,\alpha}^{(n)}$ に等しく、これによりレギュレーターが $\log(h_2)\omega_n$ のコレルマン積分と関連づけられる。
• $H^1_{\mathrm{dR}}(X_\alpha/K)$ 上のフロベニウス行列 $\phi$ は明示的に計算され、レギュレーターを支配する微分方程式を導出するのにも用いられる。
• レギュレーターの定数項は、退化ファイバー $f^{-1}(0)$ に由来する $p$-進ディログラム $\ln^{(p)}_2(z)$ によって特定される。
• $s_{i}^{(n)}(\lambda)$ は収束関数であり、$\mathbb{Q}_p\{\lambda, (1-\lambda)^{-1}\}^\dagger$ に属し、$[K:\mathbb{Q}_p]$ の次数に依存する。