[論文レビュー] Fair Clustering with Multiple Colors

Matteo Böhm, Adriano Fazzone+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2020

Face and Expression Recognition参考文献 47被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複数色（保護属性）を伴う公平kクラスタリングへの単純な還元を提示し、k中位、k平均、kセンターなどのセンターに基づく目的関数に対して定数倍近似を得る。主な結果は、非制約kクラスタリングの近似因子αを用いて(α + 2)近似を得ることであり、これは多数の多色公平クラスタリング問題に対して初めて真正の定数倍近似となる。

ABSTRACT

A fair clustering instance is given a data set $A$ in which every point is assigned some color. Colors correspond to various protected attributes such as sex, ethnicity, or age. A fair clustering is an instance where membership of points in a cluster is uncorrelated with the coloring of the points. Of particular interest is the case where all colors are equally represented. If we have exactly two colors, Chierrichetti, Kumar, Lattanzi and Vassilvitskii (NIPS 2017) showed that various $k$-clustering objectives admit a constant factor approximation. Since then, a number of follow up work has attempted to extend this result to a multi-color case, though so far, the only known results either result in no-constant factor approximation, apply only to special clustering objectives such as $k$-center, yield bicrititeria approximations, or require $k$ to be constant. In this paper, we present a simple reduction from unconstrained $k$-clustering to fair $k$-clustering for a large range of clustering objectives including $k$-median, $k$-means, and $k$-center. The reduction loses only a constant factor in the approximation guarantee, marking the first true constant factor approximation for many of these problems.

研究の動機と目的

• 複数の保護群（色）を伴う公平kクラスタリングの定数倍近似アルゴリズムの設計という未解決問題に取り組む。
• 二色または特殊ケースに限られた先行研究を、一般のセンターに基づくクラスタリング目的関数に対して二色設定を超えて拡張する。
• 非制約kクラスタリングから公平kクラスタリングへの汎用的で頑健な還元を提供し、近似品質を定数倍以内に保つ。
• 既存の効率的なクラスタリングおよびフェアレット分解手法と組み合わせることで、実用的なスケーラビリティを実現する。

提案手法

• 非制約kクラスタリングから公平kクラスタリングへの還元を提案し、近似因子に加法的O(1)項の増加を許容する。
• 輸送問題の定式化を用いて、各クラスタ内の色バランス制約を満たすように点をセンターに割り当てる。
• kセンターに対して、単純なグリーディヒューリスティクスを設計し、公平クラスタリングで3近似を達成する。
• k中位の線形時間O(d log n)-近似アルゴリズムを複数色に拡張する。
• 還元を高速フェアレット分解と統合し、大規模データセットへの適用を可能にする。
• 非制約問題の既存近似アルゴリズムをサブルーチンとして活用し、近似保証を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k中位やk平均などの一般のセンターに基づく目的関数に対して、3つ以上の保護群（色）を伴う公平kクラスタリングで定数倍近似が達成可能か？
• RQ2 近似比に加法的定数因子(α + 2)が必須であるか、よりタイトな近似が達成可能か？
• RQ3 2色を超える場合、公平クラスタリング問題は非制約バージョンよりも本質的に難易度が高くなるか？
• RQ4 kが定数のとき、ユークリッド空間において公平k中位やk平均のPTASを構築可能か？
• RQ5 色の基数が不均等または重複する場合、バイクリテリア近似の限界は何か？

主な発見

• 本稿では、非制約問題の近似因子αを用いて、k中位、k平均、kセンターを含むすべてのセンターに基づく目的関数に対して、(α + 2)近似を得る。
• kセンターに対しては、単純なグリーディヒューリスティクスにより3近似が達成され、従来のバイクリテリアまたは制限付き結果を上回る。
• k中位に対しては、O(d log n)-近似アルゴリズムを複数色に拡張し、線形時間の効率性を維持する。
• 3色以上の存在下で、フェアnセンターおよびフェアn中位問題がAPX困難であることが示され、2色ケースを越えて複雑性が増加することが裏付けられた。
• 還元は頑健であり、高速フェアレット分解などのスケーラブルな技術と組み合わせ可能で、CensusII（450K点）のような大規模データセットへの応用を可能にする。
• kが定数のとき、ユークリッド空間の定数次元においても、公平クラスタリングのPTASが存在するが、一般のkにおけるPTASの存在は未解決のまま。