[論文レビュー] Fair Division Under Cardinality Constraints

Siddharth Barman, Arpita Biswas|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2018

Game Theory and Voting Systems参考文献 21被引用数 28

ひとこと要約

この論文は、分割不能な財の公平配分において、個数制約（基数制約）のもとで、envy-freeness up to one good（EF1）および近似maximin share（MMS）の公平性保証が維持可能であることを確立している。著者らは、 envy graph 技術を組み合わせたラウンドロビン法の変種を用いて、EF1および近似MMS配分を効率的に計算するアルゴリズムを開発し、同一評価関数のもとでラミナールマトロイド制約下でも存在可能性と計算可能性を証明した。

ABSTRACT

We consider the problem of fairly allocating indivisible goods, among agents, under cardinality constraints and additive valuations. In this setting, we are given a partition of the entire set of goods---i.e., the goods are categorized---and a limit is specified on the number of goods that can be allocated from each category to any agent. The objective here is to find a fair allocation in which the subset of goods assigned to any agent satisfies the given cardinality constraints. This problem naturally captures a number of resource-allocation applications, and is a generalization of the well-studied (unconstrained) fair division problem. The two central notions of fairness, in the context of fair division of indivisible goods, are envy freeness up to one good (EF1) and the (approximate) maximin share guarantee (MMS). We show that the existence and algorithmic guarantees established for these solution concepts in the unconstrained setting can essentially be achieved under cardinality constraints. Specifically, we develop efficient algorithms which compute EF1 and approximately MMS allocations in the constrained setting. Furthermore, focusing on the case wherein all the agents have the same additive valuation, we establish that EF1 allocations exist and can be computed efficiently even under laminar matroid constraints.

研究の動機と目的

• 個数制限がある状況下での分割不能財の公平配分に関する研究ギャップを埋める。
• 各エージェントが各カテゴリから最大指定数の財しか受け取れないという制約下において、EF1およびMMSの公平性概念を拡張する。
• 特に加法的および同一評価関数の場合に、これらの制約下での公平配分の存在と効率的計算を確立する。
• 特にコース割り当てやリソース共有のような現実世界の応用を想定し、制約なし状況を超えた公平性保証を一般化する。
• より複雑な制約、例えばラミナールマトロイド構造下でも公平性が維持可能かどうかを検討する。

提案手法

• envy graph 分析を統合したラウンドロビン法の変種を用い、個数制約を満たしつつEF1公平性を維持する。
• 最高評価を持つバンドルが含まれる違反集合の値を段階的に低下させるスワップベースの反復的手順を用い、多項式時間で収束を保証する。
• 制約付き加法的公平配分問題を、非制約付きの下位モジュラー評価関数問題に還元することで、近似MMS配分を計算する。
• 同一加法的評価関数のもとで、EF1配分が存在し、ラミナールマトロイド制約下でも効率的に計算可能であるという事実を活用する。
• EF1に違反するバンドルの集合（違反集合）を維持し、最高評価を持つバンドルの値を、財の移動によって低下させられる場合にのみ割当を更新する。
• 一度違反集合に含まれなくなったバンドルは、以降もその状態を保ち、各バンドルが最高評価違反バンドルとして登場する回数は多項式的に制限される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各カテゴリからの財の個数制約のもとで、EF1配分は存在するか？
• RQ2 個数制約が存在する状況下でも、EF1配分は効率的に計算可能か？
• RQ3 個数制約が課された状況で、近似MMS配分は存在し、かつ効率的に計算可能か？
• RQ4 エージェントの評価関数が同一である場合、ラミナールマトロイド制約下でも公平性は保たれるか？
• RQ5 非制約付き公平配分アルゴリズムを、構造的制約下でも公平性を維持できるように拡張可能か？

主な発見

• 各カテゴリからの財の個数制約のもとで、EF1配分は保証され、多項式時間で計算可能である。
• 提案されたアルゴリズムは、財のスワップによる反復的価値調整を通じて、各エージェントが個数制約を満たしつつEF1公平性を達成するバンドルを提供する。
• 同一加法的評価関数のもとで、ラミナールマトロイド制約下でもEF1配分は存在し、効率的に計算可能である。
• 個数制約下では、下位モジュラー評価関数問題への還元により、最大ミニムシェアの2/3以上を達成する近似MMS配分を多項式時間で計算可能である。
• 各バンドルが最高評価違反バンドルとして登場する回数が多項式的に制限されるため、アルゴリズムは多項式時間で終了する。これは、評価値の乗法的減少または個数の削減に起因する。
• 個数制約下でのEF1配分の存在は、各ステップで公平性を維持または向上させ、かつ一度解消された違反が再発しないことから、頑健である。