[論文レビュー] Fake Z

Anatoly Dymarsky, Rohit R. Kalloor|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2022

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、すべてのモジュラーブートストラップ制約（モジュラー不変性、正整数係数のキャラクター、真空の一意性）を満たすが、いかなるユニタリ2次元CFTやNarain理論の分配関数でもない6つの「偽」分配関数 $Z(\tau,\bar{\tau})$ を同定する。ラティス列挙とシータ関数技術を用いて、4つはユニタリCFTと整合しないことが証明され、残りの2つについては結論が出ていない。これは、すべてのモジュラーブートストラップ解が実際に存在するCFTに対応するわけではないという根本的な限界を露呈している。

ABSTRACT

Recently introduced connections between quantum codes and Narain CFTs provide a simple ansatz to express a modular-invariant function $Z(τ,\bar τ)$ in terms of a multivariate polynomial satisfying certain additional properties. These properties include algebraic identities, which ensure modular invariance of $Z(τ,\bar τ)$, and positivity and integrality of coefficients, which imply positivity and integrality of the $\mathfrak{u}(1)^n imes \mathfrak{u}(1)^n$ character expansion of $Z(τ,\bar τ)$. Such polynomials come naturally from codes, in the sense that each code of a certain type gives rise to the so-called enumerator polynomial, which automatically satisfies all necessary properties, while the resulting $Z(τ,\bar τ)$ is the partition function of the code CFT -- the Narain theory unambiguously constructed from the code. Yet there are also ``fake'' polynomials satisfying all necessary properties, that are not associated with any code. They lead to $Z(τ,\bar τ)$ satisfying all modular bootstrap constraints (modular invariance and positivity and integrality of character expansion), but whether they are partition functions of any actual CFT is unclear. We consider the group of the six simplest fake polynomials and denounce the corresponding $Z$'s as fake: we show that none of them is the torus partition function of any Narain theory. Moreover, four of them are not partition functions of any unitary 2d CFT; our analysis for other two is inconclusive. Our findings point to an obvious limitation of the modular bootstrap approach: not every solution of the full set of torus modular bootstrap constraints is due to an actual CFT. In the paper we consider six simple examples, keeping in mind that thousands more can be constructed.

研究の動機と目的

• すべてのモジュラーブートストラップ制約を満たすが、実際のCFTに対応しない『偽』分配関数 $Z(\tau,\bar{\tau})$ を同定・分析すること。
• すべてのモジュラーブートストラップ制約の解が、物理的に実現可能な正当な2次元CFTに対応するという仮定に疑問を呈すること。
• これらの偽 $Z$ が、ラティス理論的およびシータ関数的手法を用いてNarainコンactification やユニタリCFTから生じる可能性があるかを調査すること。
• 制約を満たすが実際のCFTが存在しない明示的な反例を構成することで、モジュラーブートストラップ手法の限界を明確にすること。

提案手法

• 著者らは、符号に類似した構造から導かれるが、いかなる安定化符号に対応しない6つの単純な偽エンコーダーポリノミアルを分析する。
• ラティス列挙技術を用いて、偽 $Z$ をトーラス分配関数として実現できる可能性のあるすべての小ランクの整数ラティスを体系的に構成する。
• 一般化されたシータ関数を適用して、候補となるNarain理論における状態スケーリングを計算し、モジュラー不変性および整数性の整合性をテストする。
• インデックス2の部分ラティスと双対ベクトルの構造を活用して、関連ラティスのシータ関数にかかる制約を導出する。
• 公式 $\Theta_{\partial_v\mathcal{M}} = \frac{1}{2}(\Theta_{\mathcal{M}}(\cdots,1^v) + \Theta_{\mathcal{M}}(\cdots,(-1)^v))$ を用いて、部分ラティスのシータ関数を明示的に計算する。
• 既知の $\mathbb{Z}^n$ のシータ関数 $\Theta_{\mathbb{Z}^n} = \prod_{i=1}^n \theta_3(\prod_j \xi_j^{(w_j)_i}, \varrho)$ を基盤とし、より複雑なラティスの再帰的構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6つの偽 $Z$ は、いかなるNarainコンパクト化のトーラス分配関数としても実現可能か？
• RQ2 それらの $Z$ のモジュラー不変性と正整数係数のキャラクター分解を考慮した場合、ユニタリ2次元CFTと整合するか？
• RQ3 これらの偽 $Z$ は、CFT分配関数に必要な条件を満たす整数ラティスに対応するか？
• RQ4 一般化されたシータ関数は、真のCFTと偽のモジュラーブートストラップ解を区別する上で果たす役割は何か？
• RQ5 このような偽 $Z$ の連続的族は存在するか？ すべてのパrameterに対して非実現性は維持されるか？

主な発見

• 6つの偽 $Z$ のうち4つは、ラティス実現とシータ関数スペクトルの不整合により、いかなるユニタリ2次元CFTの分配関数としても排除される。
• 6つの偽 $Z$ 全ては、必要なモジュラー不変性および整数性条件を満たすような対応する整数ラティスが存在しないため、いかなるNarain理論の分配関数としても実現不可能である。
• すべての必要な代数的恒等式と係数制約を満たしているにもかかわらず、これらの偽 $Z$ はいかなる符号に対しても由来しない。これは、CFTの構成に符号に基づくアンザッツに欠陥があることを示唆している。
• 残りの2つの偽 $Z$ については、分析は結論的でない：矛盾は検出されなかったが、実現の構成もなされなかった。
• 結果として、モジュラーブートストラップだけでは物理的CFTの存在を保証できないことが示された。解が実際に存在する理論に対応しない可能性がある。
• 本論文は、パrameter $r$ でパラメータ化された連続的な偽 $Z$ の族の存在を確認した。$r=1$ では18個の異なる偽多項式が存在し、問題が少数の極端なケースに限らないことを示している。