[論文レビュー] Families index for manifolds with hyperbolic cusp singularities

Pierre Albin, Frédéric Rochon|ArXiv.org|Jan 14, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ファイバー化された双曲的クラウン（φ-hc）計量を備えた多様体上のディラック型作用素に対して、ファミリー指数定理を確立し、ヴァイランの研究を拡張する。Fredholm摂動を組み込み、指数公式をファミリーに一般化している。指数クラスのチャーン類が、Â類とη不変量を含むトポロジカル積分に等しいことを証明しており、単一作用素からファミリーへの拡張を実現するとともに、共形同値性を通じてファイバー化クラウン計量と結びつける。

ABSTRACT

Manifolds with fibered hyperbolic cusp metrics include hyperbolic manifolds with cusps and locally symmetric spaces of Q-rank one. We extend Vaillant's treatment of Dirac-type operators associated to these metrics by weaking the hypotheses on the boundary families through the use of Fredholm perturbations as in the family index theorem of Melrose and Piazza and by treating the index of families of such operators. We also extend the index theorem of Moroianu and Leichtnam-Mazzeo-Piazza to families of perturbed Dirac-type operators associated to fibered cusp metrics (sometimes known as fibered boundary metrics).

研究の動機と目的

• ファイバー化された双曲的クラウン計量を備えた多様体上の単一作用素に対するヴァイランの指数定理を、このような作用素のファミリーへ拡張すること。
• メルローズとピアッツァのファミリー指数定理の枠組みを踏まえ、Fredholm摂動を用いて境界仮定を弱めること。
• η不変量と核および余核データのチャーン類を含む、φ-hc計量に対するファミリー指数公式を確立すること。
• モロヤヌおよびレヒトナム＝マッツェオ＝ピアッツァの単一作用素指数定理を、φ-hc計量上の摂動付きディラック型作用素のファミリーへ一般化すること。
• 核および余核のランクが一定である場合に、φ-c（ファイバー化クラウン）ファミリー指数定理がφ-hc結果の共形同値性によって導かれることが示されること。

提案手法

• 漸近的にシリンダーモデルをとる多様体に対するメルローズ＝ピアッツァのファミリー指数定理の証明を、φ-hc計量に適応する修正版を用いる。
• 垂直ディラック作用素にFredholm摂動を適用し、スペクトルセクションの存在を保証し、指数構成を安定化させる。
• φ-hcビスマス超接続を構成し、それをスケーリングすることで指数バンドルの曲率とチャーン類を解析する。
• スペクトル非対称性を指数公式に組み込むために、η不変量およびその摂動版（η⁺_P）を用いる。
• 共形同値性を用いて、φ-c指数問題をφ-hcの場合に還元し、モロヤヌの手法をファミリーに適応する。
• アグラノビッチ＝ディニンの公式を適用し、異なるスペクトル射影に関連するη不変量を関連づけ、相対指数定理を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファイバー化された双曲的クラウン計量を備えた多様体上のディラック型作用素のファミリー指数定理を、単一作用素からどのようにファミリーに拡張できるか？
• RQ2 Fredholm摂動は、ファミリーの指数を安定化させ、スペクトルセクションの構成を可能にする上で果たす役割は何か？
• RQ3 η不変量と核および余核のチャーン類は、φ-hc計量におけるファミリー指数公式にどのように関与するか？
• RQ4 核のランク仮定のもとで、φ-c（ファイバー化クラウン）ファミリー指数定理がφ-hc結果の共形同値性から導けるか？
• RQ5 指数バンドルのチャーン類とφ-hc指数公式におけるトポロジカル不変量との正確な関係は何か？

主な発見

• φ-hcディラック型作用素のファミリーに対する指数バンドルのチャーン類は、ファibratioinのÂ類と垂直作用素のη不変量を含むトポロジカル積分で与えられる。
• 指数公式には、スペクトル射影の選択に依存する垂直ディラック作用素のη不変量を含む補正項が含まれる。
• 水平作用素の核および余核が一定ランクを持つとき、指数公式は単純化され、核バンドルのチャーン類を含む項が含まれる。
• 相対指数公式はコホモロジーにおいて成り立ち、η不変量の差が、スペクトル射影のFredholm対のチャーン類に対応する。
• 核および余核の次元が基底上で一定である限り、φ-cファミリー指数定理はφ-hc結果の共形同値性から導かれる。
• 公式はヴァイラン、モロヤヌ、およびレヒトナム＝マッツェオ＝ピアッツァの単一作用素指数定理をファミリー設定に一般化し、明示的なコホモロジー表現を提供する。