[論文レビュー] Families of hyperelliptic curves

Sergey Gorchinskiy, Filippo Viviani|ArXiv.org|Nov 25, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特性 ≠ 2 の代数閉体上での genus $g \geq 2$ の双曲的曲線のモジュライ空間 $H_g$ のピカール群および divisor class 群を決定し、$\operatorname{Pic}(H_g)$ が自明であるのに対し、$g \geq 3$ のとき $\operatorname{Cl}(H_g)$ は位数 $4g+2$ の巡回群であり、$g=2$ のときは位数 $5$ であることを証明する。さらに、モジュライスタック $\mathcal{H}_g$ のピカール群の生成子の関手的記述を提供し、ホッジバンドルがそれを生成するための必要十分条件は $4 \nmid g$ であることを示し、$H_g$ に標準的族が存在しないこと、したがって細モジュライ空間でないことを証明する。

ABSTRACT

The main subject is the difference between the coarse moduli space and the stack of hyperelliptic curves. In particular, we compute their Picard groups, giving explicit description of the generators. We also study how many families of hyperelliptic curves may have the same modular map as well as the existence of the tautological family over the coarse moduli space of hyperelliptic curves.

研究の動機と目的

• 双曲的曲線の粗モジュライ空間 $H_g$（$g \geq 2$）のピカール群および divisor class 群を計算すること。
• $H_g$ が細モジュライ空間であるかどうかを、その上に標準的族が存在するか否かを調査することで特定すること。
• 既知の $g=2$ の結果を拡張し、モジュライスタック $\mathcal{H}_g$ のピカール群の生成子の関手的記述を提供すること。
• コhomological および幾何的手法を用いて、$H_g$ 上に普遍族が存在しない障害を分析すること。

提案手法

• モジュライ空間 $H_g$ は $({\rm Sym}^{2g+2}(\mathbb{P}^1) - \Delta)/PGL_2$ として実現され、不変理論および商幾何の応用が可能になる。
• 等化幾何および対称積の構造を用いて、$\operatorname{Cl}(H_g)$ を計算し、$g \geq 3$ のとき巡回群（位数 $4g+2$）であることを示す。
• $H_g$ の滑らか部分が稠密であることと、商構成が線分束の自明性を保つことから、$\operatorname{Pic}(H_g)$ が自明であることを示す。
• モジュライスタック $\mathcal{H}_g$ は $[\mathbb{A}_{\text{sm}}(2,2g+2)/(GL_2/\mu_{g+1})]$ として同定され、等化線分束を用いたピカール群の計算が可能になる。
• 相対正則およびワイエルシュトラス除集合の押し出しを分析し、それらをホッジバンドルで表現することで、$\operatorname{Pic}(\mathcal{H}_g)$ の関手的生成子を構成する。
• $H_g^0$ 上に標準的族が存在しないことは、$(\operatorname{Sym}^{2g+2}(\mathbb{P}^1) - \Delta)^0 \times \mathbb{P}^1$ 上の普遍除集合の類が 2 で割り切れないことから、普遍性の必要条件に反するため証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的曲線のモジュライ空間 $H_g$（$g \geq 2$）の divisor class 群 $\operatorname{Cl}(H_g)$ の構造は何か？
• RQ2 ピカール群 $\operatorname{Pic}(H_g)$ は自明か？ そしてこれは $H_g$ の特異点とどのように関係するか？
• RQ3 粗モジュライ空間 $H_g$ は双曲的曲線の標準的族を許容するか？
• RQ4 モジュライスタック $\mathcal{H}_g$ のピカール群の生成子を幾何的不変量の観点から明示的に記述できるか？
• RQ5 ホッジバンドルの第1チャーン類が $\operatorname{Pic}(\mathcal{H}_g)$ を生成するのはどのような条件下か？

主な発見

• $g \geq 3$ のとき $\operatorname{Cl}(H_g)$ は位数 $4g+2$ の巡回群であり、$g=2$ のときは位数 $5$ である。これは $H_g$ が正規であるものの特異的であることを示唆する。
• $\operatorname{Pic}(H_g)$ は自明である。これは $\operatorname{Cl}(H_g)$ が非自明であるため、$H_g$ が細モジュライ空間でないことを意味する。
• $H_g^0 \subset H_g$ 上に双曲的曲線の標準的族は存在しない。これは、$\operatorname{Pic}((\operatorname{Sym}^{2g+2}(\mathbb{P}^1) - \Delta)^0 \times \mathbb{P}^1)$ 上の普遍除集合の類が 2 で割り切れないことによる。
• $\operatorname{Pic}(\mathcal{H}_g)$ の生成子は、相対正則およびワイエルシュトラス除集合の押し出しの線型結合として明示的に構成される。
• ホッジバンドルの第1チャーン類が $\operatorname{Pic}(\mathcal{H}_g)$ を生成するのは、$4$ が $g$ を割り切らないときであり、そうでない場合は指数 2 の部分群を生成する。
• 家族に有理セクションがあり、自己同型群が $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である場合、基底 $S$ から $H_g^0$ へのモジュラー写像の次数は偶数でなければならない。これは $H_g^0$ の函数体上に位数 2 のブラウアー類が存在するためである。