[論文レビュー] Families of rational curves on holomorphic symplectic varieties and applications to zero-cycles

François Charles, Giovanni Mongardi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 40被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、$K3^{[n]}$-型の複素シンプレクティック多様体上の十分に豊富な線形系が、原始的クラスの有理曲線で張られるユニルーテッドな除数を含むための必要十分条件を確立する。任意の固定された $n$ に対して、このような除数を許容しない極化型は有限個であることを証明し、これを用いてビーユブ＝ヴォイジンの0次サイクルの Chow 群の構造に関する結果を高次元の複素シンプレクティック多様体へ一般化する。

ABSTRACT

We study families of rational curves on irreducible holomorphic symplectic varieties. We give a necessary and sufficient condition for a sufficiently ample linear system on a holomorphic symplectic variety of $K3^{[n]}$-type to contain a uniruled divisor covered by rational curves of primitive class. In particular, for any fixed $n$, we show that there are only finitely many polarization types of holomorphic symplectic variety of $K3^{[n]}$-type that do not contain such a uniruled divisor. As an application we provide a generalization of a result due to Beauville-Voisin on the Chow group of 0-cycles on such varieties.

研究の動機と目的

• $K3$ 表面における有理曲線に関するボゴモロフ＝マウムフォードの結果を、高次元の複素シンプレクティック多様体へ一般化すること。
• ある $K3^{[n]}$-型多様体上の十分に豊富な線形系が、原始的クラスの有理曲線で張られるユニルーテッドな除数を含む条件を同定すること。
• ビーユブ＝ヴォイジンの0次サイクルの Chow 群に関する結果を、高次元の複素シンプレクティック多様体へ拡張すること。
• 複素シンプレクティック幾何の文脈において、有理曲線およびユニルーテッド除鼠の存在と幾何的性質を調査すること。
• これらの構成が、このような多様体上の Chow 群および有理同値の構造に与える影響を探索すること。

提案手法

• 有理曲線およびその双対類のコホロロジー類を $H^2(X,\mathbb{Z})$ 内で分析するために、ベイユ＝ボゴモロフ形式を用いる。
• ヴェルビツキーのグローバル Torelli 定理および変形理論を適用し、$K3^{[n]}$-型多様体のモジュライ空間を研究する。
• 安定な genus 0 曲線およびその有理被覆を、準射影的基底上での族として定義することでユニルーテッド除鼠を定式化する。
• 特に $CH_0(X)_{hom}$ と $S_1CH_0(X)_{hom}$ の間の双対性を分析し、0次サイクルと曲線類との関係を解明する。
• $CH_0(X)$ 内の交差論的恒等式を用いて、有理曲線と0次サイクルとの間に幾何的対応を確立する。
• $D \cdot R \neq 0$ となる除鼠 $D$ と被覆曲線 $R$ を用い、$S_1CH_0(X)_{D,hom} \subset D \cdot CH_1(X)_{hom}$ を示し、これにより標準的0次サイクルの構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $K3^{[n]}$-型の複素シンプレクティック多様体に対して、十分に豊富な線形系が原始的クラスの有理曲線で張られるユニルーテッド除鼠を含むのはいつか？
• RQ2 固定された $n$ に対して、$K3^{[n]}$-型多様体の極化型のうち、このようなユニルーテッド除鼠を許容しないものはいくつあるか？
• RQ3 $K3$ 表面におけるビーユブ＝ヴォイジンの $CH_0(S)$ の構造に関する結果を、高次元の複素シンプレクティック多様体へ一般化できるか？
• RQ4 $2n$ 次元の複素シンプレクティック多様体に、自己交わりが非ゼロである $n$ 次元の有理的連結な部分多様体が存在するか？
• RQ5 次数1の標準的0次サイクルが、このような多様体内の有理的連結部分多様体上の点として幾何的に実現可能か？

主な発見

• 任意の固定された $n$ に対して、$K3^{[n]}$-型多様体の極化型のうち、原始的クラスの有理曲線で被覆されるユニルーテッド除鼠を許容しないものは有限個である。
• ある $K3^{[n]}$-型多様体上の線形系がこのようなユニルーテッド除鼠を含むための十分かつ必要条件が確立された。
• ユニルーテッド除鼠 $D$ に対して、$CH_0(D)_{hom}$ の像は $D \cdot CH_1(X)_{hom}$ に含まれる。これは、適切な条件下で $S_1CH_0(X)_{hom} = D \cdot CH_1(X)_{hom}$ を意味する。
• 任意の除鼠 $L$ が被覆曲線と非自明に交わるとき、0次サイクルの Chow 群のホモロジー同値類に関する $S_1CH_0(X)_{hom} = L \cdot CH_1(X)_{hom}$ が成り立つ。
• 被覆曲線と非自明に交わるユニルーテッド除鼠の存在は、0次サイクル類 $S_1CH_0(X)_{hom}$ が除鼠との交差によって生成されることを保証する。
• 本研究の結果は、ビーユブが予想したように、有理曲線およびユニルーテッド除鼠を用いて、$CH_0(X)$ 内の次数1の標準的0次サイクルの幾何的実現を支持する。