[論文レビュー] Families over curves with a strictly maximal Higgs field

Eckart Viehweg, Kang Zuo|ArXiv.org|Mar 8, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、変動ホッジ構造の文脈において、曲線上のn重被覆の族が厳密に最大のヒッグス場を有する場合を調査する。奇数nの場合、基底が固有であるとき、そのような族は存在し得ないことを証明するが、アーベル多様体の商とボルチェアの構成を用いて偶数nの場合の明示的例を構成し、すべての次元で存在することを示し、カルビ・ヤウ多様体または自己次元0の多様体のモジュライ空間におけるシムーラ曲線と関連していることを示す。

ABSTRACT

We study certain rigid Shimura curves in the moduli scheme of polarized minimal n-folds of Kodaira dimension zero. Those are characterized by some numerical condition on the Deligne extension of the corresponding variation of Hodge structures, or equivalently by the strict maximality of the induced Higgs field. We show that such Shimura curves can not be proper, for n odd, and we give some examples, showing that they exist in all dimensions.

研究の動機と目的

• ホッジ理論とモノドロミーの観点から、曲線上のn重被覆の族が厳密に最大のヒッグス場を有する条件を同定すること。
• アラケロフ型不等式および厳密最大性の概念を、より高い重みのホッジ構造の変動に拡張すること。
• そのような族の剛性、ムムフォード＝タイラー群の構造、幾何的性質を調査すること。
• 特にカルビ・ヤウ多様体および自己次元0の多様体に対して、そのような族の明示的例を構成すること。
• 特に基底曲線が固有であるか、またはマークド点を有する場合に、そのような族が存在する条件を特定すること。

提案手法

• 重みk ≥ 0のホッジ構造の変動にアラケロフ不等式を一般化し、ヒッグス場が厳密に最大である場合に限り等号が成り立つことを示す。
• シンプソンのヒッグスバンドル理論を適用し、厳密に最大のヒッグスバンドルを固定された重み1のヒッグスバンドルとユニタリ部のテンソル積および直和に分解すること。
• ユニポテンツモノドロミーを用いて、ヒッグスバンドル構造がℚ上に定義可能であることを示し、楕円曲線のモジュラー族からの算術的起源を示唆すること。
• モジュラー楕円曲線族の積の商を用いて例を構成し、クマーモデル的構成およびボルチェアの手法を用いる。
• 商族のn次コホモロジーのホッジ分解を解析し、奇数kに対してはホッジ数h^{k,0}が消えること、偶数kに対しては非ゼロであることを示す。
• デリーニの拡張および対数微分形式の理論を用いて、トートロジカルな系列のエッジ写像を介してヒッグス場を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのnについて、自己次元0を有する曲線上のn重被覆の族で、厳密に最大のヒッグス場を有するものが存在するか？
• RQ2 基底曲線が固有であるとき、奇数nに対してそのような族が存在可能か？
• RQ3 厳密に最大のヒッグス場を有するホッジ構造の変動に対して、ホッジバンドルおよびムムフォード＝タイラー群の構造はいかなるものか？
• RQ4 偶数n > 2に対して、曲線上のカルビ・ヤウn重被覆の族で、厳密に最大のヒッグス場を有するものが存在するか？
• RQ5 そのような族は、シムーラ曲線およびアーベル多様体のモジュラー族とどのように関係しているか？

主な発見

• nが奇数の場合、基底曲線が固有であるとき、そのような厳密に最大のヒッグス場を有する族は存在しない。これは定理5.2で示された。
• nが偶数の場合、そのような族は存在し、モジュラー楕円曲線族の積の商を用いて構成される。例7.5で示された。
• 商族のホッジバンドルはh^{n,0} = 1であり、すべての偶数k ≤ nに対してh^{k,0} ≠ 0である。
• 構成された族の一般ファイバーは自己次元0であり、最小モデルである。
• n = 3の場合、ボルチェアの構成により、オイラー標数96およびh^{2,1} = 3を有するカルビ・ヤウ3次元多様体が得られる。
• ホッジ構造の変動R^n f_* ℚ_Xは、対称冪S^3(R^1 h_* ℚ_E)とR^1 h_* ℚ_Eの2重和に同型であり、ヒッグスバンドル構造からの分解を反映している。