[論文レビュー] Family Floer cohomology and mirror symmetry

Mohammed Abouzaid|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用数 38

ひとこと要約

この論文は、シンプレクティック多様体に滑らかなラグランジュトーラスファイブレーションが存在する場合、ファミリーフロアー・コホロロジーを用いてインスタントン補正と収束問題を扱い、そのファイブレーションを持つシンプレクティック多様体のフクヤカテゴリから、鏡像空間上のねじれ有理的層の導来カテゴリへのミラー関手を構成する。主な貢献は、$A_\infty$-加群と$\alpha_X$-ねじれ層を用いて、双対空間上での対象のモジュライ空間として実現される、体系的かつ幾何的に動機づけられたミラーの構成である。

ABSTRACT

Ideas of Fukaya and Kontsevich-Soibelman suggest that one can use Strominger-Yau-Zaslow's geometric approach to mirror symmetry as a torus duality to construct the mirror of a symplectic manifold equipped with a Lagrangian torus fibration as a moduli space of simple objects of the Fukaya category supported on the fibres. In the absence of singular fibres, the construction of the mirror is explained in this framework, and, given a Lagrangian submanifold, a (twisted) coherent sheaf on the mirror is constructed.

研究の動機と目的

• SYZおよびホモロジカルミラーダリアリティ予想が示唆するように、シンプレクティック多様体に滑らかなラグランジュトーラスファイブレーションが存在する場合、ミラー多様体をフクヤカテゴリ内の単純対象のモジュライ空間として幾何的かつ体系的に構成すること。
• ファイブレーションにおける曲率と特異点を伴うフロアー・コホロロジーの定義と収束性を、継続写像と剛体解析的手法を用いて克服すること。
• 滑らかなラグランジュトーラスファイブレーションを持つシンプレクティック多様体の導来フクヤカテゴリから、鏡像空間上の$\alpha_X$-ねじれ有理的層の導来カテゴリへのミラー関手を定義すること。
• 双対空間上でのファイバー上に台を持つ対象としてミラーを実現するために、$A_\infty$-プレシーブとねじれ層構造を用いること。

提案手法

• ファミリーフロアー・コホロロジーを用い、各ラグランジュ部分多様体に対して、三角形分割された基底$Q$上に定義された層を関連付ける。
• 収束性を剛体解析的意味で保証するために、フロアー・データ間の継続写像とチェーンホモトピーを用いる。
• 基底内のパスの立方体にパラメータ化された継続写像を用いて、層$\mathcal{O}^{\alpha_X}_{\mathcal{A}}$上の$A_\infty$-加群構造を構成する。
• 開被覆に制限されたフロアー・データを用いて移行関数と貼り合わせデータを定義し、合成に関して一貫性を保証する。
• アダムズの構成を用い、三角形分割の$r$-単体に対応する$r-1$次元のパスの立方体を関連付け、継続写像の帰納的構成を可能にする。
• 鏡像空間$Y$上に、ファイブレーションのモノドロミーから生じる$\alpha_X$によるねじれを伴う$A_\infty$-プレシーブ構造を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかなラグランジュトーラスファイブレーションを持つシンプレクティック多様体のミラーを、フクヤカテゴリ内の対象のモジュライ空間として幾何的に構成する方法は何か？
• RQ2 ファイブレーションに曲率や特異点が存在する状況下で、フロアー・コホロロジーをどのようにして定義的かつ収束的に保証できるか？
• RQ3 フロアー理論的データを用いて、フクヤカテゴリから鏡像空間上の有理的層の導来カテゴリへのミラー関手を体系的に構成できるか？
• RQ4 インスタントン補正とウォールクロスィングは、対象のモジュライ空間としてのミラーの構成において、果たす役割は何か？
• RQ5 $A_\infty$-構造とねじれ層データをどのように用いることで、ホモロジカルミラーダリアリティ予想と整合する形でミラー関手を実現できるか？

主な発見

• 構成により、鏡像空間$Y$上に$\alpha_X$-ねじれ$A_\infty$-プレシーブが得られ、これは$A_\infty$-圏における完全複体のカテゴリの対象を定義する。
• 写像$L \mapsto \mathcal{L}$は、$X$の導来フクヤカテゴリから$Y$上の$\alpha_X$-ねじれ有理的層の導来カテゴリへのwell-definedなミラー関手を与える。
• 十分に細かい三角形分割と一般なパラメータ化データを選択することで、継続データの収束性が剛体解析的意味で達成される。
• $A_\infty$-加群の構造写像は、$\exp(\alpha_X(ijk))$による乗算に関して可換であり、ねじれと整合的であることが保証される。
• 構成は継続写像に関して不変であり、ラグランジュ部分多様体の射影における曲率の問題を回避する。
• 本手法により、ホモロジカルミラーダリアリティ予想が、恣意的なミラー関手の構成を避け、幾何的かつ関手的かつ体系的に実現される。