[論文レビュー] Fan is to monoid as scheme is to ring: a generalization of the notion of a fan

Howard M Thompson|ArXiv.org|Jun 13, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、有理的多面体錐のファイナーをモノイド付き空間（モノイドの層を備えた位相空間）に置き換えることで、トーリック多様体の一般化を提案する。これにより、非正規かつ非準射的トーリック多様体を含む理論への拡張が可能になる。主な貢献は、環からモノイドへと一般化されたスキーム理論の枠組みを構築し、モノイド代数と貼り合わせを用いてスキームを構成することである。この枠組みにおいて、モノイドのスペクトルがアフィンスキームの役割を果たす。

ABSTRACT

Following DeMeyer, Ford & Miranda [DFM93], we define a topology on a fan by declaring open sets to be its subfans. Then, like Kato [Kat94], we make our fans into monoided spaces by associating a sheaf of monoids to each fan. (Our sheaf of monoids differs from Kato's.) Observing that this new monoided space is locally isomorphic to the spectrum of some monoid in the same sort of way a scheme is locally isomorphic to the spectrum of some ring, we define any monoided space that is locally isomorphic to the spectra of monoids to be a (generalized) fan. The monoid algebra functor can then be used to associate a scheme to such a fan. If we use the monoid algebra functor over some base field k, the resultant scheme is a normal variety if and only if it is a toric variety.

研究の動機と目的

• 古典的なトーリック多様体理論を正規かつ準射的でないケースへと拡張すること。
• 環の代わりにモノイドを用いるスキーム理論の枠組みを構築し、モノイドスペクトルをアフィンモデルとして用いること。
• モノイド代数と貼り合わせを用いて、一般化されたファイナーからスキームを構成すること。
• モノイドが有限生成・キャンセル可能・ torsion-free である場合、古典的トーリック多様体が特別なケースとして回復されることを示すこと。
• 抽象的なモーメント写像とトーラス不変対象の降下を備えた新しい幾何的道具を提供すること。

提案手法

• 可換モノイドのスペクトルを、素イデアルの位相空間にモノイドの層を備えて定義する。
• オルビット空間位相と双対モノイド $ S_\sigma = \sigma^\vee \cap M $ による茎を備えた、ファイナー（有理的多面体錐の集合）にモノイド付き空間構造を与える。
• ファイナーを、モノイドのスペクトルに局所的に同型なモノイド付き空間として定義する。
• モノイド代数関手 $ A \mapsto A[\Delta] $ を用いて、そのようなファイナーからスキームを構成し、交わりに沿ってアフィンスキーム $ \operatorname{Spec} A[S] $ を貼り合わせる。
• 自然な包含 $ s \mapsto t^s $ を用いてモノイド代数間の写像を誘導し、制限写像を用いて貼り合わせを定義する。
• 得られるスキームには連続写像 $ A[\Delta] \to \Delta $ が存在し、開集合の引き戻しは局所化に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノイド論的構造を用いて、非正規かつ非準射的例を含むトーリック多様体理論を拡張できるか？
• RQ2 モノイド代数の構成が正規 $ k $-多様体を生じるための条件は何か？
• RQ3 モノイド付き空間上の抽象的モーメント写像は、古典的トーリック多様体上のモーメント写像とどのように関係するか？
• RQ4 ファイナーから構成されたモノイド付き空間が、古典的トーリック多様体となるスキームを生成するための条件は何か？
• RQ5 モノイドのスペクトルは、古典的代数幾何と類似する一般化されたスキーム理論の基礎的構成要素として機能できるか？

主な発見

• ファイナー $ \Delta $ に付随するモノイド付き空間は、局所的にモノイドのスペクトルに同型であり、提案された一般化された意味でのファイナーである。
• モノイド代数と貼り合わせを用いた構成により、スキーム $ k[\Delta] $ が得られ、$ \Delta $ が有理的多面体錐のファイナーであるとき、これは古典的トーリック多様体と同型である。
• もし $ k[\Delta] $ が正規 $ k $-多様体であれば、各錐 $ \sigma $ におけるモノイド $ S_\sigma $ は有限生成・キャンセル可能・ torsion-free でなければならず、かつ $ \mathbb{Z}S_\sigma $ が格子に埋め込まれている必要がある。
• スキーム $ k[\Delta] $ が正規 $ k $-多様体であるための必要十分条件は、それが分離的かつ有限型であり、かつ古典的トーリック多様体であることである。
• モノイド付き空間の一般点は固定格子 $ M $ に対応し、任意の2つのアフィンチャートの交わりは関連する錐の面に対応する。これにより、全体の構造が有理的多面体錐のファイナーであることが保証される。