[論文レビュー] Fast Distributed Algorithms for Maximal Matching and Maximal Independent Set

Leonid Barenboim, Michael Elkin+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2012

Distributed systems and fault tolerance被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、一般のグラフ上の対称性打破問題を多項式対数サイズのグラフ上の等価な決定的問題に変換する、新しい還元技術を用いて、LOCALモデルにおける最大独立集合（MIS）および最大マッチングの高速な確率的分散アルゴリズムを提示する。主な貢献は、$O(\log^2\Delta + 2^{O(\sqrt{\log\log n})})$ 時間で実行されるMISアルゴリズムであり、中程度の次数を持つグラフにおいて1986年のLuby–Alon–Babai–Itaiのアルゴリズムを改善し、$\Omega(\log \\Delta)$ の下界にほぼ一致する。

ABSTRACT

Symmetry breaking problems are among the most well studied in the field of distributed computing and yet the most fundamental questions about their complexity remain open. In this paper we work in the LOCAL model (where the input graph and underlying distributed network are identical) and study the randomized complexity of four fundamental symmetry breaking problems on graphs: computing MISs (maximal independent sets), maximal matchings, vertex colorings, and ruling sets. A small sample of our results includes - An MIS algorithm running in $O(\log^2\Delta + 2^{O(\sqrt{\log\log n})})$ time, where $\Delta$ is the maximum degree. This is the first MIS algorithm to improve on the 1986 algorithms of Luby and Alon, Babai, and Itai, when $\log n \ll \Delta \ll 2^{\sqrt{\log n}}$, and comes close to the $\Omega(\log \Delta)$ lower bound of Kuhn, Moscibroda, and Wattenhofer. - A maximal matching algorithm running in $O(\log\Delta + \log^4\log n)$ time. This is the first significant improvement to the 1986 algorithm of Israeli and Itai. Moreover, its dependence on $\Delta$ is provably optimal. - A method for reducing symmetry breaking problems in low arboricity/degeneracy graphs to low degree graphs. (Roughly speaking, the arboricity or degeneracy of a graph bounds the density of any subgraph.) Corollaries of this reduction include an $O(\sqrt{\log n})$-time maximal matching algorithm for graphs with arboricity up to $2^{\sqrt{\log n}}$ and an $O(\log^{2/3} n)$-time MIS algorithm for graphs with arboricity up to $2^{(\log n)^{1/3}}$. Each of our algorithms is based on a simple, but powerful technique for reducing a randomized symmetry breaking task to a corresponding deterministic one on a poly$(\log n)$-size graph.

研究の動機と目的

• 分散計算における基本的な対称性打破問題の確率的複雑性を向上させるという長年の未解決課題に取り組むこと。
• 1986年のLubyおよびIsraeli–Itaiのアルゴリズムの制限を克服し、数十年にわたり最先端の状態を維持した。
• 高次元または密なグラフ上の対称性打破タスクを、低次元で多項式対数サイズのグラフ上の等価問題に還元する一般化された技術を開発すること。
• 最大マッチングにおける最大次数Δに対する決定的な依存関係を最適化し、MISの複雑さをほぼ最適化すること。

提案手法

• 一般のグラフ上の確率的対称性打破問題を、サイズが多項式対数（poly(log n)）のグラフ上の決定的問題に写像する、新しい還元フレームワークを導入すること。
• この還元を用いて、元の問題を有界次数の設定に変換し、効率的な決定的アルゴリズムを適用可能にする。
• 低木性（arboricity）または退化性（degeneracy）が小さいグラフは、低次数の部分グラフに分解可能であるという事実を活用し、効率的な局所計算を可能にする。
• この還元を適用して、特に木性が中程度のグラフにおいて、MISおよび最大マッチングの時間計算量を改善したアルゴリズムを導出する。
• 最大マッチングアルゴリズムにおけるΔ依存関係が最適であることを証明し、既知の下界と一致させること。
• 還元を用いて、木性が有界なグラフクラスに対しても結果を拡張し、そのようなクラスにおいて多項式時間未満のアルゴリズムを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LOCALモデルにおいて、分散MISおよび最大マッチングアルゴリズムの1986年までの時間計算量の壁を破ることは可能か？
• RQ2 任意のグラフ上の対称性打破問題を、小さな低次数のグラフ上の等価問題に還元する一般化された技術を設計することは可能か？
• RQ3 分散最大マッチングアルゴリズムにおける最大次数Δの最適依存関係は何か？ そして、それを達成することは可能か？
• RQ4 木性と退化性は、分散環境下での対称性打破問題の複雑さにどのように影響するか？
• RQ5 この還元フレームワークを用いて、スパarsなグラフクラスにおけるMISおよび最大マッチングの近似的に最適なアルゴリズムを導出できるか？

主な発見

• 最大次数Δが $\log n \ll \Delta \ll 2^{\sqrt{\log n}}$ を満たす場合、$O(\log^2\Delta + 2^{O(\sqrt{\log\log n})})$ 時間で実行されるMISアルゴリズムが提示され、1986年のLuby–Alon–Babai–Itaiのアルゴリズムを改善している。
• 最大マッチングアルゴリズムは $O(\log\Delta + \log^4\log n)$ 時間で実行され、IsraeliとItaiの1986年アルゴリズム以来の顕著な改善をもたらしている。
• 最大マッチングアルゴリズムにおけるΔ依存関係が最適であることが証明され、既知の $\Omega(\log \Delta)$ の下界と一致している。
• 木性が $2^{\sqrt{\log n}}$ 未満のグラフでは、最大マッチングアルゴリズムが $O(\sqrt{\log n})$ 時間で実行される。
• 木性が $2^{(\log n)^{1/3}}$ 未満のグラフでは、MISアルゴリズムが $O(\log^{2/3} n)$ 時間で実行される。
• 提案された還元技術により、多項式対数サイズのグラフ上で決定的に問題を解くことによって、対称性打破問題の高速なアルゴリズムを導出可能である。