[論文レビュー] The Locality of Distributed Symmetry Breaking

Leonid Barenboim, Michael Elkin+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 39被引用数 86

ひとこと要約

この論文は、大規模な確率的問題を多項式対数的サイズの小規模なコンポーネントに還元することで、分散型対称性打破における結合上限の障壁を克服する新しい手法を導入する。最大独立集合（MIS）、最大マッチング、頂点彩色の分野で、確率的複雑性において画期的な改善を達成し、特に $O(\log^2\Delta + 2^{O(\sqrt{\log\log n})})$ 時間で実行されるMISアルゴリズムと、$O(\log\Delta + \log^4\log n)$ 時間で実行される、証明可能に最適な最大マッチングアルゴリズムが得られている。

ABSTRACT

Symmetry breaking problems are among the most well studied in the field of distributed computing and yet the most fundamental questions about their complexity remain open. In this paper we work in the LOCAL model (where the input graph and underlying distributed network are identical) and study the randomized complexity of four fundamental symmetry breaking problems on graphs: computing MISs (maximal independent sets), maximal matchings, vertex colorings, and ruling sets. A small sample of our results includes - An MIS algorithm running in $O(\log^2Δ+ 2^{O(\sqrt{\log\log n})})$ time, where $Δ$ is the maximum degree. This is the first MIS algorithm to improve on the 1986 algorithms of Luby and Alon, Babai, and Itai, when $\log n \ll Δ\ll 2^{\sqrt{\log n}}$, and comes close to the $Ω(\log Δ)$ lower bound of Kuhn, Moscibroda, and Wattenhofer. - A maximal matching algorithm running in $O(\logΔ+ \log^4\log n)$ time. This is the first significant improvement to the 1986 algorithm of Israeli and Itai. Moreover, its dependence on $Δ$ is provably optimal. - A method for reducing symmetry breaking problems in low arboricity/degeneracy graphs to low degree graphs. (Roughly speaking, the arboricity or degeneracy of a graph bounds the density of any subgraph.) Corollaries of this reduction include an $O(\sqrt{\log n})$-time maximal matching algorithm for graphs with arboricity up to $2^{\sqrt{\log n}}$ and an $O(\log^{2/3} n)$-time MIS algorithm for graphs with arboricity up to $2^{(\log n)^{1/3}}$. Each of our algorithms is based on a simple, but powerful technique for reducing a randomized symmetry breaking task to a corresponding deterministic one on a poly$(\log n)$-size graph.

研究の動機と目的

• 分散型対称性打破における確率的アルゴリズムの有効性を制限する根本的な結合上限の障壁を克服すること。
• コアな分散問題（MIS、最大マッチング、ルーリングセット、頂点彩色）の高速な確率的アルゴリズムを開発すること。
• 特に有界次数または低分岐性を示すグラフにおいて、LOCALモデルで証明可能に最適または近似的に最適な時間複雑性を達成すること。
• 大規模な対称性打破問題を小規模で取り扱いやすい部分問題に変換する一般化された還元フレームワークを確立すること。
• 確率的複雑性と決定的複雑性の関係を明確にし、根本的な制限要因を特定すること。

提案手法

• 元の $n$ ノードの対称性打破問題を、確率的戦略が高確率で成功する、互いに素な ${\mathrm{poly}}(\log n)$ サイズの部分問題の集合に還元すること。
• グラフを低次数のコンポーネントに段階的分解し、その後に木ベースの独立集合アルゴリズムを繰り返し適用すること。
• 高周囲性グラフに対応できるように、$\mathsf{TreeIndependentSet}$ および $\mathsf{TreeMIS}$ アルゴリズムの修正版を、調整されたしきい値と反復回数を用いて適用すること。
• 各コンポーネント内の高次元ノードの数を制限する新しい不変量を導入し、失敗確率が有界であることを保証すること。
• 最大次数 $O(\log n)$ の部分グラフは、既知の手法を用いて $2^{O(\sqrt{\log\log n})}$ 時間で解けるという事実を活用すること。
• 構造的分解を用いて、低分岐性グラフにおける対称性打破を低次数グラフに還元し、スパarsなグラフにおいてより高速なアルゴリズムを可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LOCALモデルにおいて、MISの $\Omega(\log \Delta)$ の下界を確率的アルゴリズムで打ち破ることは可能か？
• RQ2 確率的LOCALモデルにおいて、最大マッチングの $\Delta$ に依存する最適な依存関係を達成することは可能か？
• RQ3 $(\Delta+1)$-彩色の複雑性を $O(\log \Delta + \sqrt{\log n})$ 未満に低下させることは可能か？
• RQ4 結合上限の障壁は確率的対称性打破を根本的に制限するものであり、もしそうならばそれを克服できるか？
• RQ5 一般のグラフにおいて、MISおよび最大マッチングの $o(\log n)$ 時間アルゴリズムを達成できるか？

主な発見

• MISアルゴリズムは $O(\log^2\Delta + 2^{O(\sqrt{\log\log n})})$ 時間で実行され、$\log n \ll \Delta \ll 2^{\sqrt{\log n}}$ の条件下で1986年のLuby–Alon–Babai–Itaiのアルゴリズムを改善する。
• 最大マッチングアルゴリズムは $O\left(\log\Delta + \log^4\log n\right)$ 時間で実行され、1986年のIsraeli–Itaiのアルゴリズム以来の画期的な改善であり、$\Delta$ に依存する最適な依存関係を達成する。
• $(\Delta+1)$-彩色アルゴリズムは $O\left(\log\Delta + 2^{O(\sqrt{\log\log n})}\right)$ 時間で実行され、以前の $O\left(\log\Delta + \sqrt{\log n}\right)$ の境界を改善する。
• 分岐性が $2^{\sqrt{\log n}}$ 未満のグラフでは、低次数グラフへの還元により、最大マッチングアルゴリズムが $O\left(\sqrt{\log n}\right)$ 時間で実行される。
• 分岐性が $2^{(\log n)^{1/3}}$ 未満のグラフでは、同じ還元技術を用いてMISアルゴリズムが $O\left(\log^{2/3}n\right)$ 時間で実行される。
• 論文は結合上限を根本的な障壁と特定し、確率的複雑性が決定的複雑性に依存すると仮説を立て、$2^{O(\sqrt{\log\log n})}$ 項が決定的改善なしでは避けられない可能性があると結論づけている。