[論文レビュー] Fast IMEX Time Integration of Nonlinear Stiff Fractional Differential Equations

Yongtao Zhou, Jorge L. Suzuki+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 63被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、分数階数 α ∈ (0,1] を持つ剛性のある非線形分数係数微分方程式（FDE）に対して、最初の段階および2番目の段階の陰-陽解法（IMEX）時間積分法を提案する。これらの手法は、初期特異性を扱うためにLubichに類似した補正項を有する分数量アダムス＝ムルトン法と組み合わせ、高速トーペリッツ解法を用いて O(N log N) の計算複雑度を達成する。スケームは、グローバルに1次および2次精度を示し、特に小さい α 値に対して線形安定性領域が改善されている。

ABSTRACT

Efficient long-time integration of nonlinear fractional differential equations is significantly challenging due to the integro-differential nature of the fractional operators. In addition, the inherent non-smoothness introduced by the inverse power-law kernels deteriorates the accuracy and efficiency of many existing numerical methods. We develop two efficient first- and second-order implicit-explicit (IMEX) methods for accurate time-integration of stiff/nonlinear fractional differential equations with fractional order $α\in (0,1]$ and prove their convergence and linear stability properties. The developed methods are based on a linear multi-step fractional Adams-Moulton method (FAMM), followed by the extrapolation of the nonlinear force terms. In order to handle the singularities nearby the initial time, we employ Lubich-like corrections to the resulting fractional operators. The obtained linear stability regions of the developed IMEX methods are larger than existing IMEX methods in the literature. Furthermore, the size of the stability regions increase with the decrease of fractional order values, which is suitable for stiff problems. We also rewrite the resulting IMEX methods in the language of nonlinear Toeplitz systems, where we employ a fast inversion scheme to achieve a computational complexity of $\mathcal{O}(N \log N)$, where $N$ denotes the number of time-steps. Our computational results demonstrate that the developed schemes can achieve global first- and second-order accuracy for highly-oscillatory stiff/nonlinear problems with singularities.

研究の動機と目的

• 長期間にわたり、初期特異性を示す剛性のある非線形分数量微分方程式を高精度に積分する課題に対処すること。
• 分数量微分作用素に含まれる逆べき法則カーネルによって生じる滑らかでない解に対しても、高精度を維持する効率的な時間積分スキームの開発。
• 特に、異常拡散やビスコエラスティックモデルで一般的な小さい分数階数 α ∈ (0,1] に対して、既存のIMEX法の線形安定性領域を改善すること。
• スケームを非線形トーペリッツ系に再定式化し、高速逆行列技術を適用することで、計算コストを O(N²) から O(N log N) に削減すること。
• 一般の非線形性および特異性の下で、提案された1次および2次IMEX法の収束性および安定性の証明を確立すること。

提案手法

• 剛性（陰的）部分のFDEに対して、線形多段分数量アダムス＝ムルトン法（FAMM）をベースに用いる。
• 非線形力項は、各ステップで非線形系を解かずに精度を保つために補間を用いて陽的に扱う。
• 時間 t=0 近辺の特異的挙動を捉えるために、分数量作用素にLubichに類似した補正項を適用し、滑らかでない解に対する精度を向上させる。
• 得られた線形系は非線形トーペリッツ系に再定式化され、FFTに基づく解法により高速な行列・ベクトル積が可能になる。
• トーペリッツ構造を活用し、高速逆行列アルゴリズムを用いることで、O(N log N) の計算複雑度を達成する。
• 離散グローヴァルの不等式および補正重みの境界を用いて、安定性および収束性を証明し、1次および2次スキームの両方に対して厳密な誤差推定を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期特異性が存在する剛性のある非線形FDEに対して、1次および2次精度を維持しつつIMEX法を構築できるか？
• RQ2 特に小さい α 値に対して、FDEのIMEXスキームの線形安定性領域をどのように改善できるか？
• RQ3 得られる密行列線形系の計算コストを、精度を損なわずに O(N²) から O(N log N) に削減できるか？
• RQ4 Lubichに類似した補正項は、非線形FDEのためのIMEX法の収束速度および安定性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 提案されたスキームは、高周波数成分を有する、剛性があり、滑らかでないFDE問題に対して、既存の手法と比較してどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 提案された1次および2次IMEXスキームは、初期特異性を示す剛性のある非線形FDEに対して、グローバルに1次および2次精度を達成する。
• スケームの線形安定性領域は、既存のIMEX法よりも大きく、分数階数 α が小さくなるほど拡大する。これは、剛性問題に対して有利である。
• スケームを非線形トーペリッツ系に再定式化し、高速逆行列技術を適用することで、計算複雑度が O(N log N) に削減された。
• 初期特異性を補うLubichに類似した補正項の組み込みにより、高周波数成分を有する問題に対しても高い精度を維持できる。
• 理論的収束性および安定性が厳密に証明されており、誤差境界は解の正則性および補正項の次数に依存する。
• 数値実験により理論的予想が確認され、α ∈ (0,1] およびさまざまな非線形性の範囲で、強固な性能を示した。