[論文レビュー] Vibration Analysis of Geometrically Nonlinear and Fractional Viscoelastic Cantilever Beams

Pegah Varghaei, Ehsan Kharazmi+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 58被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、幾何的非線形性を有する分数マクスウェル粘弾性はりの非線形振動を、分布型分数モデルを用いて調査する。ハミルトニアンの原理を用いて支配方程式を導出し、スペクトル分解および摂動法により解く。線形応答において異常なべき乗則の減衰を明らかにし、振幅が分数パラメータに極めて敏感であることを示す。一次共振における軟化・硬化挙動に起因する分岐が観察される。

ABSTRACT

We investigate the nonlinear vibration of a fractional viscoelastic cantilever beam, subject to base excitation, where the viscoelasticity takes the general form of a distributed-order fractional model, and the beam curvature introduces geometric nonlinearity into the governing equation. We utilize the extended Hamilton principle to derive the governing equation of motion for specific material distribution functions that lead to fractional Kelvin-Voigt viscoelastic model. By spectral decomposition in space, the resulting governing fractional PDE reduces to nonlinear time-fractional ODEs. We use direct numerical integration in the decoupled system, in which we observe the anomalous power-law decay rate of amplitude in the linearized model. We further develop a semi-analytical scheme to solve the nonlinear equations, using method of multiple scales as a perturbation technique. We replace the expensive numerical time integration with a cubic algebraic equation to solve for frequency response of the system. We observe the super sensitivity of response amplitude to the fractional model parameters at free vibration, and bifurcation in steady-state amplitude at primary resonance.

研究の動機と目的

• ベース励振を受ける分数粘弾性および幾何的非線形性を有するはりの非線形振動をモデル化すること。
• 分布型分数物性モデルを用いた拡張ハミルトニアンの原理を用いて、支配的偏微分方程式を導出すること。
• 空間方向のスペクトル分解を用いて、分数偏微分方程式を非線形時間分数常微分方程式系に還元すること。
• 時間積分を避けるために、複数スケール法を用いた半解析的手法を開発し、周波数応答を計算すること。
• 分数モデルパラメータが振幅応答に与える影響、特に軟化・硬化挙動および分岐行動を調査すること。

提案手法

• 分数ケルビン＝ヴォイト粘弾性および幾何的非線形性を有するはりのための拡張ハミルトニアンの原理を用いて、支配方程式を定式化する。
• 空間方向のスペクトル分解を適用し、分数偏微分方程式を非線形時間分数常微分方程式系に還元する。
• 直接数値積分を用いて、線形化系における異常なべき乗則の減衰を観察する。
• 複数スケール法を摂動技法として用い、周波数応答のための三次代数方程式を導出する。
• 線形不減衰固有値問題からの固有関数を用いた仮想モード法を採用し、単一モード近似を可能にする。
• 半解析的解の妥当性を、数値積分結果との比較および一次共振における分岐行動の解析により検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分布型分数粘弾性モデルは、はりの線形および非線形振動応答にどのように影響を与えるか？
• RQ2 線形化系における振幅減衰の性質は何か？ また、異常なべき乗則の挙動を示すか？
• RQ3 幾何的非線形性が存在する状況下で、分数モデルパラメータは定常振幅および周波数応答にどのように影響を与えるか？
• RQ4 系は軟化または硬化挙動を示すか？ また、周波数応答における分岐はどのような条件下で発生するか？
• RQ5 複数スケール法に基づく半解析的手法は、直接時間積分を避けて周波数応答を正確に予測できるか？

主な発見

• 線形化系は、分数動力学に一致する異常なべき乗則の振幅減衰を示す。
• 応答振幅は、特に共振近傍で分数モデルパラメータに対して極めて敏感である。
• 一次共振における定常振幅に分岐が観察され、複雑な非線形挙動が示唆される。
• 複数スケール法に基づく半解析的手法は、高価な数値時間積分を三次代数方程式による周波数応答に置き換えることに成功した。
• 線形不減衰系の第一固有関数は、$ X_1(s) = 5.50054\big[\text{sin}(\beta_1 s) - \text{sinh}(\beta_1 s)\big] - 0.215842\big[\text{cos}(\beta_1 s) - \text{cosh}(\beta_1 s)\big] $ であり、$ \beta_1^2 = 1.38569 $ である。
• 集中質量がない場合の第一固有値は $ \beta_1^2 = 3.51602 $ であり、正規化された固有関数は $ X_1(s) = 0.734096\big[\text{sin}(\beta_1 s) - \text{sinh}(\beta_1 s)\big] - \big[\text{cos}(\beta_1 s) - \text{cosh}(\beta_1 s)\big] $ である。