[論文レビュー] Fast linear response algorithm for differentiating stationary measures of chaos

Angxiu Ni|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、関数（分布ではなく）を用いた新しい展開を用いて不安定発散を計算することで、カオス的系におけるSRB測度の微分に数値的に効率的な手法である高速線形応答アルゴリズムを導入する。修正されたシャロウイング方向における正規化された2次接続方程式を用いることで、斜交射影を回避し、一様に双曲的系において証明可能な収束性を達成し、フラクタル吸引子における正確なパrameter感受度の計算を可能にする。

ABSTRACT

We devise a new algorithm, called the fast linear response algorithm, for accurately differentiating SRB measures with respect to some parameters of the dynamical system, where SRB measures are fractal limiting stationary measures of chaotic systems. The core of our algorithm is the first numerical treatment of the unstable divergence, a central object in the linear response theory for fractal attractors. We derive the first computable expansion formula of the unstable divergence, where all terms are functions rather than distributions. Then we give a `fast' characterization of the expansion by renormalized second-order tangent equations, whose second derivative is taken in a modified shadowing direction, computed by the non-intrusive shadowing algorithm. The new characterization makes the algorithm efficient and robust: its main cost is solving $u$, the unstable dimension, many first-order and second-order tangent equations, and it does not compute oblique projections. Moreover, the algorithm works for chaos on Riemannian manifolds with any $u$; its convergence to the true derivative is proved for uniform hyperbolic systems. The algorithm is illustrated on an example which is difficult for previous methods.

研究の動機と目的

• カオス的系のフラクタル定常測度（SRB測度）を、系のパrameterに関して微分するという課題に取り組む。
• フラクタル吸引子を有する系における線形応答を計算的に効率的かつ数値的に安定した方法で計算する。
• 従来の方法が分布や斜交射影に依存するため、精度とスケーラビリティに制限が生じる問題を克服する。
• 任意の不安定次元 u を持つ一様に双曲的系に対して、証明可能な収束性を持つアルゴリズムを確立する。
• 従来の線形応答理論がフラクタル幾何学のため適用不能となるカオス的系において、パrameter感受度の計算を可能にする。

提案手法

• 本アルゴリズムは、分布ではなく関数のみを用いた不安定発散の新たな計算可能な展開を導入し、数値的取り扱いを可能にする。
• 展開を特徴付けるために、修正されたシャロウイング方向における正規化された2次接続方程式を用いる。2階微分は、この修正されたシャロウイング方向でとる。
• 修正されたシャロウイング方向は、非侵襲的シャロウイングアルゴリズムを用いて計算され、システムへの侵襲的改変を必要とせず、頑健性を確保する。
• 標準的な接続方程式に再定式化することで、斜交射影を回避し、数値的複雑性を低減する。
• 本アルゴリズムの主な計算コストは、u 個の1次および2次接続方程式を解くことであり、u は不安定次元を表す。
• この定式化はリーマン多様体上でも有効であり、一様に双曲的系において真の微分に証明可能な収束性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラクタル吸引子における線形応答理論の主要対象である不安定発散を、安定的かつ効率的に数値的に計算する方法は何か？
• RQ2 分布的対象を避けて実用的な計算を可能にする関数ベースの不安定発散展開を導出できるか？
• RQ3 斜交射影を用いずに、標準的な接続方程式とシャロウイング方向のみでSRB測度の微分を特徴づけることは可能か？
• RQ4 このようなアルゴリズムの計算コストと収束性は、一様に双曲的系においてどのように振る舞うか？
• RQ5 本手法は、リーマン多様体上にあり、任意の不安定次元 u を持つカオス的系に適用可能か？

主な発見

• 本稿では、分布ではなく関数を用いた不安定発散の最初の計算可能な展開を導出する。これにより、数値的実装が可能になる。
• 本アルゴリズムは、一様に双曲的系において真の微分に証明可能な収束性を示し、理論的信頼性を保証する。
• 本手法は効率的かつ頑健であり、計算コストが不安定次元 u に線形に比例する。主に1次および2次接続方程式の解法に依存する。
• 斜交射影を回避し、非侵襲的シャロウイング方向を用いることで、数値的安定性と実用性が向上する。
• 従来の手法が失敗する困難なカオス的系において、本アルゴリズムはパrameter感受度を正確に計算でき、実用的利点を示している。
• 本定式化は一般性に富み、任意の不安定次元 u を持つリーマン多様体上に定義されたカオス的系に適用可能である。