[論文レビュー] Fast parallel circuits for the quantum Fourier transform

Richard Cleve, John Watrous|ArXiv.org|Jun 1, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 26被引用数 81

ひとこと要約

本稿では、誤差εの近似において、回路の深さをO(n)からO(log n + log log(1/ε))に低減する、量子フーリエ変換(QFT)の新しい量子回路設計を提示する。この手法は混合基数分解と小規模QFTサブルーチンの並列化を用い、Shorの因数分解アルゴリズムを多項式サイズの量子回路でO(log n)の深さで実装可能とし、因数分解が複雑性クラスZPP^BQNCに属することを示す。

ABSTRACT

We give new bounds on the circuit complexity of the quantum Fourier transform (QFT). We give an upper bound of O(log n + log log (1/epsilon)) on the circuit depth for computing an approximation of the QFT with respect to the modulus 2^n with error bounded by epsilon. Thus, even for exponentially small error, our circuits have depth O(log n). The best previous depth bound was O(n), even for approximations with constant error. Moreover, our circuits have size O(n log (n/epsilon)). We also give an upper bound of O(n (log n)^2 log log n) on the circuit size of the exact QFT modulo 2^n, for which the best previous bound was O(n^2). As an application of the above depth bound, we show that Shor's factoring algorithm may be based on quantum circuits with depth only O(log n) and polynomial-size, in combination with classical polynomial-time pre- and post-processing. In the language of computational complexity, this implies that factoring is in the complexity class ZPP^BQNC, where BQNC is the class of problems computable with bounded-error probability by quantum circuits with poly-logarithmic depth and polynomial size. Finally, we prove an Omega(log n) lower bound on the depth complexity of approximations of the QFT with constant error. This implies that the above upper bound is asymptotically optimal (for a reasonable range of values of epsilon).

研究の動機と目的

• 量子フーリエ変換(QFT)の回路深さを低減し、効率的な量子アルゴリズムを実現すること。
• 誤差εの上限を持つ近似QFTを実装できる並列量子回路を開発すること。
• Shorの因数分解アルゴリズムが、多項式対数的深さの量子回路のみを用いて実装可能であることを示すこと。
• QFT近似の深さ複雑性にきつい上限を確立すること。
• 正確および近似QFTの実装が、低深さの量子回路で実現可能かどうかを検討すること。

提案手法

• QFTを2^nの法とするものから、中国剰余定理を活用した混合基数アプローチにより、より小さなQFTに分解する。
• 各小規模QFT（modulo m_j）は、キタエフの近似法または再帰的分解により計算され、並列実行が可能となる。
• 全体の回路は、計算基底状態をモジュロ還元および再結合により変換する変換Cを用い、並列化を可能にする。
• 主要な式F_m = C†(F_{m_1} ⊗ ... ⊗ F_{m_k})ACは、全QFTと組み合わせたサブ回路のユニタリ等価性を保証する。
• 各小規模QFTおよび変換演算子CとAを並列化することで、深さを対数的深さに最小化する。
• 各サブQFTにおける近似精度を制御することにより、誤差境界が維持されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子フーリエ変換は、多項式対数的深さの量子回路で実装可能か？
• RQ2 誤差εでQFTを近似するのに必要な最小深さは何か？
• RQ3 Shorの因数分解アルゴリズムは、対数的深さの量子回路のみを用いて実装可能か？
• RQ4 QFT近似のO(log n)の深さ境界は、漸近的に最適か？
• RQ5 正確なQFTは、線形深さを避けられるサブ線形深さで実装可能か、それとも線形深さは避けがたいか？

主な発見

• 本稿では、誤差εで2^nの法におけるQFTを近似する場合、深さの上界としてO(log n + log log(1/ε))を確立した。これは、指数的に小さいεに対しても成立する。
• 多項式誤差ε = 1/poly(n)の場合、深さはO(log nのままであり、従来のO(n)の境界に比べ顕著に改善された。
• 近似QFT回路のサイズはO(n log(n/ε))であり、これは効率的でスケーラブルである。
• 正確なQFT（modulo 2^n）のサイズには、O(n (log n)^2 log log n)の上界が与えられ、従来のO(n^2)の境界を改善した。
• 本稿では、定数誤差QFT近似の深さ複雑性にΩ(log n)の下界を証明し、O(log n)の深さ境界が漸近的に最適であることを示した。
• Shorの因数分解アルゴリズムは、深さO(log n)および多項式サイズの量子回路を用いて実装可能であり、因数分解が複雑性クラスZPP^BQNCに属することを示した。