[論文レビュー] Faster Search of Clustered Marked States with Lackadaisical Quantum Walks

Amit Saha, Ritajit Majumdar+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 44被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、$ \sqrt{N} \times \sqrt{N} $ グリッド内のすべてのクラスタ化されたマーク付き状態をほぼ1の成功確率で特定するために、$ l = \frac{4}{N(k+1)} \pm \delta $ の範囲で調整された自己ループ重みを有する無頓足な量子ウォークを提案する。ここで $ \frac{4}{N(k+2)} \leq l \leq \frac{4}{Nk} $ である。この手法は、振幅増幅を用いないにもかかわらず、特に $ k = n^2 $ である奇数 $ n $ の場合に、グローバーのコインや先行の無頓足ウォーク手法を上回る高速な探索時間を達成する。

ABSTRACT

The nature of discrete-time quantum walk in the presence of multiple marked states has been studied by Nahimovs and Rivosh. They introduced an exceptional configuration of clustered marked states $i.e.,$ if the marked states are arranged in a $\sqrt{k} imes \sqrt{k}$ cluster within a $\sqrt{N} imes \sqrt{N}$ grid, where $k=n^{2}$ and $n$ an odd integer. They showed that finding a single marked state among the multiple ones using quantum walk with AKR (Ambainis, Kempe and Rivosh) coin requires $\Omega(\sqrt{N} - \sqrt{k})$ time. Furthermore, Nahimov and Rivosh also showed that the Grover's coin can find the same configuration of marked state both faster and with higher probability compared to that with the AKR coin. In this article, we show that using lackadaisical quantum walk, a variant of a three-state discrete-time quantum walk on a line, the success probability of finding all the clustered marked states of this exceptional configuration is nearly 1 with smaller run-time. We also show that the weights of the self-loop suggested for multiple marked states in the state-of-the-art works are not optimal for this exceptional configuration of clustered mark states. We propose a range of weights of the self-loop from which only one can give the desired result for this configuration.

研究の動機と目的

• 2次元グリッドにおける複数のクラスタ化されたマーク付き状態の探索という課題に取り組み、先行手法が失敗するか非効率である状況を解消する。
• 例外的なクラスタ化されたマーク付き状態の配置に対して失敗する既存の無頓足な量子ウォークの重み（例：$ l = \frac{4(k - \sqrt{k})}{N} $、$ l = \frac{4k}{N} $）の制限を克服する。
• $ \sqrt{k} \times \sqrt{k} $ クラスタ内のすべてのマーク付き状態を高精度で検出できる、特定の自己ループ重みの範囲を同定する。
• 最適化されたウォークダイナミクスにより、直接的にほぼ1の成功確率を達成することで、振幅増幅の必要性を排除する。
• 奇数 $ n $ に対して一般化可能で最適な重み領域を確立する。ここで $ k = n^2 $ であり、例外的なクラスタ化配置を想定する。

提案手法

• 5次元のコイン空間（自己ループ状態を含む）を持つ、$ \sqrt{N} \times \sqrt{N} $ の2次元グリッド上での無頓足な量子ウォークを用いる。
• コイン演算子を $ D = 2|s_D\rangle\langle s_D| - I_5 $ と定義し、$ |s_D\rangle = \frac{1}{\sqrt{4 + l}}( |\uparrow\rangle + |\downarrow\rangle + |\leftarrow\rangle + |\rightarrow\rangle + \sqrt{l}|.\rangle ) $ とする。ここで $ l $ は可変の自己ループ重みである。
• マーク付き状態では拡散演算子を $ -I $ に置き換え、未マーク状態ではグローバーに類似したコインを用いることで摂動を加える。
• さまざまなグリッドサイズ $ N $ およびクラスタサイズ $ k = n^2 $（奇数 $ n $）に対して、数値シミュレーションを実施し、成功確率とランタイムを評価する。
• 自己ループ重み $ l = \frac{4}{N(k+1)} \pm \delta $ の範囲を体系的にテストし、$ \delta $ を調整して $ \frac{4}{N(k+2)} \leq l \leq \frac{4}{Nk} $ を満たすようにする。これにより、各構成における最適な重みを同定する。
• グローバーのコインや先行の無頓足ウォーク重み（例：$ \frac{4(k - \sqrt{k})}{N} $、$ \frac{4k}{N} $）と比較し、成功確率およびランタイムの優位性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの自己ループ重み範囲が、$ \sqrt{N} \times \sqrt{N} $ グリッド内の $ \sqrt{k} \times \sqrt{k} $ クラスタ内のすべてのマーク付き状態をほぼ1の成功確率で特定可能にするか？
• RQ2 提案された重み範囲を用いた無頓足な量子ウォークの性能は、グローバーのコインや先行の無頓足ウォーク重みと比較して、成功確率およびランタイムの観点でどのように異なるか？
• RQ3 提案された重み範囲により、クラスタ化されたマーク付き状態の探索において振幅増幅の必要性を排除できるか？
• RQ4 提案された重み範囲は、奇数 $ n $ に対して異なるクラスタサイズ $ k = n^2 $ に対して、特に $ k > 9 $ の場合に、堅牢かつ最適であるか？
• RQ5 提案された重み範囲を用いた場合、グリッドサイズ $ N $ が変化しても成功確率はほぼ1のままであり、ランタイムは低く保たれるか？

主な発見

• 自己ループ重みを $ l = \frac{4}{N(k+1)} \pm \delta $ の範囲に設定し、$ \frac{4}{N(k+2)} \leq l \leq \frac{4}{Nk} $ を満たすことで、$ k = 9 $、$ N = 10,000 $ の場合に約 0.997 の成功確率が達成され、たった 471 ステップで実現される。
• $ k = 9 $ の場合、提案手法は 471 ステップで 0.997134 の成功確率を達成するが、先行の無頓足ウォーク重み $ \frac{4k}{N} = 0.0036 $ ではたった 0.011434 の成功確率にとどまる。
• 提案された重み範囲により、グローバーのコイン手法が $ \sim\sqrt{\log N} $ の反復を要するのに対し、より少ないステップ数でほぼ1の成功確率（例：$ k = 9 $、$ N = 8100 $ 時に 0.994785）を達成できる。
• 既存の無頓足ウォーク重み（例：$ \frac{4(k - \sqrt{k})}{N} $、$ \frac{4k}{N} $）は $ k > 9 $ の場合にいかなるマーク付き状態も検出できないが、提案手法は $ k = 25 $ や $ k = 49 $ の場合でも高い成功確率を維持する。
• $ k = 25 $ の場合、$ N = 2500 $ で 18,557 ステップで 0.991250 の成功確率を達成し、$ k = 49 $ の場合、$ N = 400 $ で 234,022 ステップで 0.896939 の成功確率を達成する。これは、提案された重み領域内でのスケーラビリティを示している。
• 数値シミュレーションにより、各構成に対して唯一の重みが最適な性能を発揮することが確認され、$ N $ と $ k $ ごとに一意の最適重みが存在することが示され、導出された区間の精度が裏付けられる。