[論文レビュー] Faster Worst Case Deterministic Dynamic Connectivity

Casper Kejlberg-Rasmussen, Tsvi Kopelowitz+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、無向グラフに対する決定的動的接続性データ構造を提示する。更新時間の最悪計算量は $ O\big(\sqrt{\frac{n(\log\log n)^2}{\log n}}\big) $、クエリ時間は定数時間であり、1983年のFredericksonおよび1997年のEppsteinらが提唱した長年の $ O(\sqrt{n}) $ の境界を改善する。本手法は、圧縮された隣接行列と効率的なワード単位演算を用いた新規な階層的分解を採用し、アモアタイゼーションや確率的処理を用いずに、より高速な最悪計算量性能を達成する。

ABSTRACT

We present a deterministic dynamic connectivity data structure for undirected graphs with worst case update time $O\left(\sqrt{\frac{n(\log\log n)^2}{\log n}} ight)$ and constant query time. This improves on the previous best deterministic worst case algorithm of Frederickson (STOC 1983) and Eppstein Galil, Italiano, and Nissenzweig (J. ACM 1997), which had update time $O(\sqrt{n})$. All other algorithms for dynamic connectivity are either randomized (Monte Carlo) or have only amortized performance guarantees.

研究の動機と目的

• 1983年および1997年に確立された $ O(\sqrt{n}) $ の更新時間境界を超える、最悪計算量の決定的動的接続性のギャップを埋めること。
• アモアタイゼーションや確率的処理の欠陥（誤検出や高メモリ使用量）を回避する、最悪計算量保証付きの決定的ソリューションを提供すること。
• 動的接続性において $ \sqrt{n} $ を下回る更新時間の達成を、定数クエリ時間と決定的動作を維持しながら実現すること。
• アモアタイゼーション構造とは異なり、各操作の遅延が上限に制限されるオンライン応用に適したデータ構造を設計すること。
• スパarsificationとワード単位の圧縮技術を用いて、密なグラフへの動的接続性の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• データ構造は、グラフをスーパーチャンクに階層的に分解し、各チャンクが部分的なエッジ集合を圧縮された隣接行列で管理する。
• クラスタ間の隣接行列は、行優先順序でエンコードされ、行インデックスと列インデックスを保持するフィールドが、各ワードに $ O(\log h) $ ビットで効率的にパックされる。
• 圧縮された行列に対する操作（エッジの存在確認、行をゼロに設定、行インデックスのインクリメントなど）は、パックされたワード上のビット操作と二分探索を用い、$ O(\log h) $ 時間で実行される。
• 隣接行列の転置は、各フィールド内の行インデックスと列インデックスを入れ替え、Batcherのビットonicソートを用いてフィールドをソートすることで達成され、$ x $ ワードに対して $ O\big(x(\log^2(w/\log h) + \log x \log(w/\log h))\big) $ 時間の計算量を有する。
• スーパーチャンクの分割と結合は、行列を行優先順に変換した後、$ K $ 個のチャンクと $ J $ 個のクラスタを考慮して、$ O(K\log h + J + (Kh/w)\log h) $ 時間で処理される。
• 最適なパラメータはトレードオフ解析により設定され、$ h = \log n $、$ K = \sqrt{\hat{m}/(\log n (\log\log n)^2)} $ とすることで、$ O\big(\sqrt{\hat{m}(\log\log n)^2 / \log n}\big) $ の更新時間が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1983年および1997年の境界から、動的接続性の最悪計算量の決定的更新時間は $ O(\sqrt{n}) $ を超えて改善可能か？
• RQ2 標準的なワード演算と決定的動作のみを用いて、動的接続性の最悪計算量更新時間で $ \sqrt{n} $ を下回ることは可能か？
• RQ3 より速い更新時間を持つにもかかわらず、定数クエリ時間と決定的動作を維持する決定的動的接続性構造は実現可能か？
• RQ4 隣接行列をワード単位で効率的に圧縮・操作することで、動的接続性の更新時間を短縮することは可能か？
• RQ5 改善された最悪計算量更新時間を得つつ、$ \Omega(n\log^2 n) $ のメモリ使用量を示す先行の確率的アルゴリズムを避けるために、空間使用量を $ O(m) $ に保てるか？

主な発見

• 本稿では、最悪計算量の更新時間が $ O\big(\sqrt{\frac{n(\log\log n)^2}{\log n}}\big) $ に達し、以前の最良の決定的境界である $ O(\sqrt{n}) $ よりも漸近的に高速であることが達成された。
• クエリ時間は定数であり、以前の最高の結果と同等であるが、アモアタイゼーションや確率的処理を一切用いずに最悪計算量の保証を維持している。
• Eppsteinら（1997）のスパース化技術により、すべてのグラフ密度（密なグラフを含む）に対してこの改善が成立する。
• データ構造は、標準的な $ AC^0 $ 演算（シフト、ビット操作、加算）のみを用い、単位時間乗算を仮定しない。
• Kapronら（2013）らの先行確率的アルゴリズムが抱える誤検出やウォッチド・ドキュメントの漏洩問題を回避している。
• 空間計算量はエッジ数に比例する $ O(m) $ であり、先行の確率的アルゴリズムが示す超線形な $ \Omega(n\log^2 n) $ の空間使用量を回避している。