[論文レビュー] Fault Tolerant Quantum Computation with Constant Error

Dorit Aharonov, Michael Ben-Or|ArXiv.org|Nov 14, 1996

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 47被引用数 31

ひとこと要約

この論文は、時間および空間における多対数的オーバーヘッドを達成するために、連結量子エラー訂正符号を用いて、定数の誤り閾値を持つ耐故障量子計算を示している。量子計算は、1ゲートまたは1キュービットあたりのノイズが定数閾値 η₀ ≈ 10⁻⁶ で制限される場合でも可能であることが証明されており、これは基礎となる量子符号が「適切な」ものであり、ユニタリ変換およびフーリエ変換を用いて普遍的なゲート操作をサポートする場合に限る。

ABSTRACT

Recently Shor showed how to perform fault tolerant quantum computation when the error probability is logarithmically small. We improve this bound and describe fault tolerant quantum computation when the error probability is smaller than some constant threshold. The cost is polylogarithmic in time and space, and no measurements are used during the quantum computation. The result holds also for quantum circuits which operate on nearest neighbors only. To achieve this noise resistance, we use concatenated quantum error correcting codes. The scheme presented is general, and works with all quantum codes that satisfy some restrictions, namely that the code is ``proper''. We present two explicit classes of proper quantum codes. The first example of proper quantum codes generalizes classical secret sharing with polynomials. The second uses a known class of quantum codes and converts it to a proper code. This class is defined over a field with p elements, so the elementary quantum particle is not a qubit but a ``qupit''. With our codes, the threshold is about 10^(-6). Hopefully, this paper motivates a search for proper quantum codes with higher thresholds, at which point quantum computation becomes practical.

研究の動機と目的

• 多対数的誤り率を持つ既存の耐故障スキームと、定数ノイズ下での実用的量子計算の間のギャップを埋める。
• 特定の符号構造に依存しない、任意の「適切な」量子符号に対して機能する耐故障量子計算の一般枠組みを確立する。
• 連結符号とユニタリベースのエラー訂正を用いて、計算中に測定を行わない状態で、定数ノイズ率（η₀ ≈ 10⁻⁶）が許容可能であることを示す。
• スワップゲートを追加することで、定数オーバーヘッドで近隣キュービット間の量子回路に結果を拡張する。
• 実用的な耐故障量子計算を可能にするために、より高い閾値を持つ量子符号の探索を促進する。

提案手法

• 各レベルが『適切な』量子符号を用いて論理キュービットを符号化する連結量子エラー訂正符号を用いる。この符号は普遍的なゲート操作をサポートする。
• 有限体（F_p）上の加算、乗算、位相シフトを含む普遍ゲートセットを採用し、符号化された状態上で普遍的な量子計算を可能にする。
• F_p 上のフーリエ変換を用いて計算基底と論理基底の間を切り替えることで、初期化および読み出し手順を可能にする。
• 測定を用いず、符号の構造を活用してユニタリ操作によりエラーを検出・訂正する。これにより、重ね合わせ状態が崩壊しない。
• 補間技術および群表現論を用いて、ゲートセットが SU(n) の稠密部分群を生成することを示し、普遍的な量子計算を保証する。
• 符号の連結と、各ゲートあたり定数サイズの手順を活用することで、回路の深さの増大を時間および空間において多対数的に抑える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズ率が多対数的関数ではなく、定数に制限される場合に、耐故障量子計算を達成できるか？
• RQ2 量子符号が定数誤り率での耐故障計算を可能にするために満たすべき条件は何か？
• RQ3 測定を計算中に行わず、完全にユニタリな方法でエラー訂正を実行しながら、耐故障性を維持できるか？
• RQ4 閾値誤り率 η₀ は、基礎となる量子符号のパラメータにどのように依存するか？
• RQ5 このスキームは、定数オーバーヘッドで近隣キュービット間の量子回路に適応可能か？

主な発見

• この論文は、適切な量子符号を用いた耐故障量子計算に対して、定数閾値誤り率 η₀ ≈ 10⁻⁶ を確立している。
• 時間および空間において多対数的オーバーヘッドを達成しており、原則としてスケーラブルである。
• 計算中に測定を行わず、ユニタリエラー訂正と符号連結に依存することで、このスキームは動作する。
• スワップゲートを各レベルあたり定数コストで追加することで、近隣キュービット間の量子回路に対しても結果が成り立つ。
• この枠組みは一般性を持ち、F_p 上の多項式ベースの符号や既知の量子符号から導かれる符号を含め、任意の「適切な」量子符号に適用可能である。
• 本論文は、より高い閾値を持つ量子符号の探索を促進しており、これにより現在のノイズレベル下でも実用的な量子計算が可能になる可能性がある。