[論文レビュー] Feasibility of Portfolio Optimization under Coherent Risk Measures

Imre Kondor, Istvan Varga-Haszonits|ArXiv.org|Mar 15, 2008

Risk and Portfolio Optimization参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、期待ショートフォール（Expected Shortfall）や最大損失（Maximal Loss）を含む一貫性リスク尺度におけるポートフォリオ最適化が、有限標本においてある資産が他の資産を支配する場合、不安定になり、無限大（マイナス無限大へ発散する）リスク推定値を生じる可能性があることを示している。不安定性は一貫性公理に起因し、標本の揺らぎによって誤った支配関係が生じた場合に、一貫性リスク尺度が誤って極端なリスク低減を示唆することで生じる。これは現実の有限データ環境における最適化の実行可能性を損なう。

ABSTRACT

It is shown that the axioms for coherent risk measures imply that whenever there is an asset in a portfolio that dominates the others in a given sample (which happens with finite probability even for large samples), then this portfolio cannot be optimized under any coherent measure on that sample, and the risk measure diverges to minus infinity. This instability was first discovered on the special example of Expected Shortfall which is used here both as an illustration and as a prompt for generalization.

研究の動機と目的

• 有限標本設定における一貫性リスク尺度下でのポートフォリオ最適化の実行可能性を調査すること。
• 期待ショートフォール（ES）で観察された不安定性が、ESに特有のものであるのか、それともすべての一貫性リスク尺度に共通する一般の性質であるのかを特定すること。
• 一貫性リスク尺度が最適化中に無限大に発散する数学的条件を分析すること。
• 標本の揺らぎが一貫性リスクに基づくポートフォリオ最適化の安定性に与える影響を評価すること。
• ポートフォリオ重みに制約を課すことで、この不安定性が解消されるのか、あるいは単に隠ぺいされるのかを評価すること。

提案手法

• 著者らは、ある資産が与えられた有限標本において他のすべての資産を支配する状況下での一貫性リスク尺度の挙動を分析している。
• 一貫性リスク尺度の公理を用いて、このような支配関係が生じた場合にリスク尺度がマイナス無限大へ発散する一般条件を導出している。
• 一般の性質を示すために、最大損失（ミニマックス）と期待ショートフォール（ES）を特別なケースとして理論的分析を適用している。
• 大規模N（資産数）および大規模T（標本サイズ）の極限において、固定されたN/T比を用いてフェーズ遷移分析を実施し、実行可能性の臨界閾値を同定している。
• レプリカ法を用いて、期待ショートフォールのフェーズ図を解析的に導出し、臨界N/T比の存在を確認している。
• ポートフォリオ制約の役割を検討し、標本駆動の支配性によって引き起こされる不安定性を根本的に解消するのではなく、単に隠ぺいするにとどまることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 期待ショートフォールにおけるポートフォリオ最適化の不安定性は、他の一貫性リスク尺度にも拡張可能か？
• RQ2 一貫性リスク尺度がポートフォリオ最適化中に無限大に発散する条件は何か？
• RQ3 有限標本において1つの資産が支配的であることは、任意の一貫性リスク尺度下での最適化失敗を引き起こす十分条件か？
• RQ4 N/T比（資産数÷標本サイズ）の臨界比が、一貫性リスク尺度下での最適化の実行可能性に与える影響は何か？
• RQ5 ポートフォリオ重みに制約を課すことで、一貫性リスク尺度における標本の揺らぎに起因する不安定性を解消できるか？

主な発見

• 一貫性リスク尺度の公理は、有限標本においてある資産が他のすべての資産を支配する場合、リスク尺度がマイナス無限大へ発散することを示唆しており、最適化の実行可能性を喪失する。
• この不安定性は期待ショートフォールに特有のものではなく、一貫性公理による証明により、すべての一貫性リスク尺度に共通する一般の性質である。
• 最大損失（ミニマックス）リスク尺度では、T > N であっても最適化の実行可能性確率は1未満であり、大規模N・大規模Tの極限においてN/Tが1/2を超えると急激に低下する。
• 期待ショートフォールでは、臨界N/T比（最適化が実行不能になる比）は信頼水準αが高くなるほど低下し、下向きに傾いたフェーズ境界を形成する。
• 不安定性は標本間の揺らぎに起因する：無限時間の平均では支配的でない場合でも、標本の揺らぎによって誤った支配関係が生じる可能性がある。
• ポートフォリオ重みの制約は不安定性を解消しない。制約は解を境界にシフトさせるだけであり、安定なリスク特性ではなく、ランダムな揺らぎに敏感な結果を生じさせる。