[論文レビュー] FEAST Eigenvalue Solver v3.0 User Guide

Eric Polizzi, James Kestyn|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2012

Matrix Theory and Algorithms参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

FEAST v3.0 は、高度な輪郭積分と複数の求積則を用いて、ヘルミート行列、非ヘルミート行列、および複素対称行列をサポートする大規模固有値問題を解く高性能な数値ライブラリである。ユーザー定義の輪郭、確率的固有値数推定、および向上したロードバランシングを導入し、対称および非対称問題の両方における精度とスケーラビリティを顕著に向上させた。

ABSTRACT

The FEAST library package represents an unified framework for solving various family of eigenvalue problems and achieving accuracy, robustness, high-performance and scalability on parallel architectures. Its originality lies with a new transformative numerical approach to the traditional eigenvalue algorithm design - the FEAST algorithm. The algorithm gathers key elements from complex analysis, numerical linear algebra and approximation theory, to construct an optimal subspace iteration technique using approximate spectral projectors. FEAST can be used for solving both standard and generalized forms of the Hermitian or non-Hermitian problems (linear or non-linear), and it belongs to the family of contour integration eigensolvers. FEAST's main computational task consists of a numerical quadrature computation that involves solving independent linear systems along a complex contour, each with multiple right hand sides. In v4.0, FEAST has been reimplemented using an inverse residual iteration algorithm which enables the linear systems to be solved with very low accuracy (in single precision) with no impact on the FEAST double precision convergence rate. As a result, v4.0 is on average 3-4 times faster than v2.1 and v3.0 using new default optimization parameters (v2.1 has been featured as Intel-MKL's principal HPC eigensolver since 2013). v4.0 also implements new important features such as IFEAST (using Inexact Iterative solver), Non-linear polynomial FEAST, and PFEAST with its 3-MPI levels of parallelism. FEAST is both a comprehensive library package, and an easy to use software. It includes flexible reverse communication interfaces and ready to use driver interfaces for dense, banded and sparse systems.

研究の動機と目的

• 非ヘリット行列のサポートを拡張し、複素対称および一般複素固有値問題を解けるようにFEAST固有値ソルバを拡張すること。
• Zolotarev、ガウス、Trapézoidalなどの最適化された求積則とロードバランシング技術を用いて、数値的効率性とスケーラビリティを向上させること。
• 楕円型およびユーザー定義の輪郭を含む、柔軟な輪郭設計機能を提供し、特定の固有値クラスタへの抽出を可能にすること。
• エキスパートモードルーチン、確率的固有値数推定、およびカスタム統合ノード・重みのサポートを通じて、使いやすさとパフォーマンスを向上させること。
• 新機能（完全な輪郭統合と改善された収束基準）を導入しながら、従来の互換性を保証すること。

提案手法

• FEASTアルゴリズムは、複素平面における輪郭積分を用いて固有値問題を部分空間に投影し、指定された区間内の固有値を分離する。
• 非ヘリット問題では、右固有ベクトルと左固有ベクトルをそれぞれ計算するために二重部分空間（Q および Q̂）が使用され、複素固有値問題の正確な解法を可能にする。
• ガウス、Trapézoidal、Zolotarev の複数の求積則が実装され、統合の精度と計算負荷のバランシングが最適化される。
• エキスパートモードルーチンを介してユーザー定義の輪郭がサポートされ、ノード、重み、幾何的パラメータを用いたセグメント化された輪郭の指定が可能になる。
• 確率的推定ルーチンが統合され、与えられた区間内の固有値数を予測し、初期探索部分空間サイズ M₀ の設定に役立てる。
• ドライバーレベルおよびエキスパートレベルのインターフェースが提供され、fpm パrameter が統合タイプ、輪郭形状、収束行動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FEASTアルゴリズムは、複素固有値および固有ベクトルを有する非ヘリット固有値問題をどのように拡張して解けるようにするか？
• RQ2 どの求積則と輪郭形状が大規模固有値計算における精度と負荷バランシングを最適化するか？
• RQ3 確率的推定は、FEASTフレームワークにおける固有値数予測のロバスト性と効率性をどのように向上させるか？
• RQ4 ユーザー定義の輪郭は、非ヘリット問題における特定の固有値クラスタへのターゲティングにどのような影響を及えるか？
• RQ5 異なる統合方式とパrameter 設定は、FEAST v3.0 における収束性とパフォーマンスにどのように影響を与えるか？

主な発見

• FEAST v3.0 は、二重部分空間定式化と複素輪郭積分を用いて非ヘリット固有値問題を効果的にサポートし、複素固有値および固有ベクトルの正確な計算を可能にした。
• ヘリット問題におけるZolotarev求積則の導入により、特に固有値がクラスタリングする場合に統合精度と負荷バランシングが顕著に向上した。
• 確率的固有値数推定により、初期部分空間次元 M₀ の設定にための試行錯誤の必要性が低減され、使いやすさと収束のロバスト性が向上した。
• ユーザー定義の輪郭により、複素平面における固有値クラスタへの正確なターゲティングが可能となり、非対称なスペクトル分布を示す非ヘリット問題において特に有益であった。
• カスタマイズ可能なノードと重みを備えたエキスパートモードインターフェースにより、統合に対する細かな制御が可能となり、多様な問題タイプにおけるパフォーマンスと適応性が向上した。
• fpm(10) パrameter により因数分解を統合中に保持できるようにすることで、特に密行列ソルバにおいてパフォーマンスの向上が観察された。