[論文レビュー] Fekete-Szego inequality for Classes of Starlike and Convex Functions

Nusrat Raza, Eman S. A. AbuJarad+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2019

Analytic and geometric function theory参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$(p,q)$-微分作用素を用いて一般化された$(p,q)$-星型関数および$(p,q)$-凸関数のクラスを導入し、これらのクラスに対してFekete-Szegő不等式を確立する。さらに、$(p,q)$-Bernardi積分作用素を定義し、係数評価に応用することで、$[n]_{p,q}$-数を含む明示的な不等式を用いて、古典的な幾何的関数論の結果を$(p,q)$-微積分の枠組みへと拡張する。

ABSTRACT

In the present paper, the new generalized classes of (p,q)-starlike and $(p,q)$-convex functions are introduced by using the (p,q)-derivative operator. Also, the (p,q)-Bernardi integral operator for analytic function is defined in an open unit disc. Our aim for these classes is to investigate the Fekete-Szego inequalities. Moreover, Some special cases of the established results are discussed. Further, certain applications of the main results are obtained by applying the (p,q)-Bernardi integral operator

研究の動機と目的

• 古典的な星型関数および凸関数を、$(p,q)$-微分作用素を用いて一般化する。
• 新たに定義された$(p,q)$-星型関数および$(p,q)$-凸関数に対してFekete-Szeg"o不等式を確立する。
• 単位円板上の正則関数の文脈において、$(p,q)$-Bernardi積分作用素を定義し、その性質を分析する。
• 特に$a_3 - \mu a_2^2$に対して、これらの一般化されたクラスにおける係数の上限を導出する。
• 主な結果を$(p,q)$-Bernardi作用素を用いて応用し、既知のクラスの特殊ケースを回復する。

提案手法

• 本稿では、$0 < q < p \leq 1$に対して、$D_{p,q}f(z) = \frac{f(pz) - f(qz)}{(p-q)z}$ で定義される$(p,q)$-微分作用素$D_{p,q}$を用いる。
• $(p,q)$-星型関数および$(p,q)$-凸関数は、それぞれ $\frac{z D_{p,q}f(z)}{f(z)} \prec \phi(z)$ および $1 + \frac{z D_{p,q}^2 f(z)}{D_{p,q}f(z)} \prec \phi(z)$ として、劣分数による定義がなされる。
• $(p,q)$-Bernardi積分作用素は、単位円板$\mathbb{U}$において正則性を保つ線形積分変換として導入される。
• Fekete-Szeg"o不等式は、劣分数および係数比較の技法を用いて導出され、$[n]_{p,q} = \frac{p^n - q^n}{p - q}$ を用いて表される。
• 関数 $|a_3 - \mu a_2^2|$ の解析を通じて、$\mu$ の異なる範囲において主要な不等式が得られ、生成関数 $\phi(z) = 1 + b_1 z + b_2 z^2 + \cdots$ から得られるパラメータ $L_2$, $L_3$, $b_1$, $b_2$ を用いる。
• 特殊ケースが $p \to 1^-$ および $q \to 1^-$ のとき、既知の$q$-類似および古典的Fekete-Szeg"o不等式に還元されることを示すことで、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な星型性および凸性の概念は、どのように$(p,q)$-微分作用素を用いて一般化できるか？
• RQ2 新たに定義された$(p,q)$-星型関数および$(p,q)$-凸関数に対して、鋭いFekete-Szeg"o不等式は何か？
• RQ3 $(p,q)$-Bernardi積分作用素は、これらの一般化されたクラスにおける係数の上限にどのように影響を与えるか？
• RQ4 不等式の極限挙動は、$p \to 1^-$ および $q \to 1^-$ のときどのようになるか？ また、古典的結果はどのように回復されるか？
• RQ5 得られた結果は、特定の正則関数の部分クラスに対する新たな係数推定に応用可能か？

主な発見

• $(p,q)$-星型関数のFekete-Szeg"o不等式は、$\mu$ に応じた3つの場合に分けられ、$[2]_{p,q}$, $[3]_{p,q}$, $L_2$, $L_3$, $b_1$, $b_2$ を含む上限が得られる。ここで $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$ は臨界閾値を定義する。
• $\mu \leq \sigma_1$ の場合、上限は $|a_3 - \mu a_2^2| \leq \frac{b_2}{[3]_{p,q}-1} + \frac{b_1^2}{[2]_{p,q}-1}\left(\frac{1}{[3]_{p,q}-1} - \frac{\mu}{[2]_{p,q}-1}\right)$ である。
• $\sigma_1 \leq \mu \leq \sigma_2$ の場合、上限は $|a_3 - \mu a_2^2| \leq \frac{b_1}{[3]_{p,q}-1}$ に簡略化される。
• $\mu \geq \sigma_2$ の場合、上限は $|a_3 - \mu a_2^2| \leq -\frac{b_2}{[3]_{p,q}-1} - \frac{b_1^2}{[2]_{p,q}-1}\left(\frac{1}{[3]_{p,q}-1} - \frac{\mu}{[2]_{p,q}-1}\right)$ に変化する。
• $\sigma_1 < \mu \leq \sigma_3$ のとき、$|a_2|^2$ を含む修正項を含む精密な不等式が導出され、絶対値の和と補正項の合計が $\frac{b_1}{[3]_{p,q}L_3 - 1}$ で有界であることが示される。
• $(p,q)$-凸関数の場合、$\rho_1$, $\rho_2$, $\rho_3$ に依存する類似の上限が得られ、$\rho_1 < \mu \leq \rho_3$ または $\rho_3 \leq \mu < \rho_2$ のとき、$|a_2|^2$ の補正項を含む類似の修正項が含まれる。