[論文レビュー] Fermion Doubling in Loop Quantum Gravity

Jacob L. Barnett, Lee Smolin|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2015

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ループ量子重力（LQG）がその離散的空間構造のため、格子に基づく量子重力背景の周りでボーン＝オッペンハイマー近似を用いることで、フェルミオン二重化問題を示している。低エネルギーフェルミオンスペクトルを格子ゲージ理論に写像することで、著者たちはニールセン＝ニノミヤの禁断定理を適用し、左巻きと右巻きのフェルミオンが等しい数で出現しなければならないことを証明しており、これは手前の対称性が失われるか、フェルミオンが二重化されない限り、LQGで手前のフェルミオンを実現することは根本的に不可能であることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we show that the Hamiltonian approach to loop quantum gravity has a fermion doubling problem. To obtain this result, we couple loop quantum gravity to a free massless scalar and a chiral fermion field, gauge fixing the many fingered time gauge invariance by interpreting the scalar field as a physical clock. We expand around a quantum gravity state based on a regular lattice and consider the limit where the bare cosmological constant is large but the fermonic excitations have energies low in Planck units. We then make the case for identifying the energy spectrum in this approximation with that of a model of lattice fermion theory which is known to double.

研究の動機と目的

• ループ量子重力（LQG）がその離散的空間構造のためフェルミオン二重化問題を被るかどうかを調査すること。
• 手前の異常がフェルミオンが二重化される場合にのみキャンセルされるという事実を踏まえ、LQGに手前のフェルミオンを一貫して実現できるかどうかを検討すること。
• LQGの低エネルギースペクトルと格子フェルミオン理論との間の写像を確立し、フェルミオン二重化に関する既知の定理の適用を可能にすること。
• LQGにおける手前の異常がないことから、フェルミオン二重化が必然的であることを、背景独立でハミルトニアン形式を用いて示すこと。

提案手法

• スカラー場と手前のフェルミオン場を含むループ量子重力（LQG）のハミルトニアン形式を用い、スカラー場を物理的時計として用いて多指時間対称性を固定する。
• 正則格子Γに基づく量子重力状態を構築し、粗挙動平均化の下で平坦な空間計量に対応させる。
• ボーン＝オッペンハイマー近似を適用し、ハミルトニアンを重力的背景の周りで展開し、低エネルギーフェルミオン励起状態に注目する。
• 劣化マッピングとドレッシングマッピングを導入し、LQGにおける有効物質ハミルトニアンをΓ上の標準的格子フェルミオン理論に結びつける。
• Γ上の有効ハミルトニアンが、正則格子上での手前のフェルミオンの存在を禁止するニールセン＝ニノミヤの禁断定理の条件を満たしていることを検証する。
• 3+1次元における運動量空間解析と分散関係曲線を用い、デゲネラシー点（ワイルノード）が相反するヘリシティを持つペアとして出現することを示し、フェルミオン二重化を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ループ量子重力（LQG）はその離散的空間構造のためフェルミオン二重化問題を示すか？
• RQ2 ニールセン＝ニノミヤの禁断定理に反しない限り、LQGに手前のフェルミオンを一貫して結合できるか？
• RQ3 LQGの異常フリーな制約代数において異常をキャンセルすることは、手前のフェルミオンの実現を可能にするに十分か、それともフェルミオン二重化を必要とするか？
• RQ4 LQGの低エネルギー有効理論を、フェルミオン二重化が既知に発生する格子フェルミオンモデルに写像できるか？
• RQ5 LQGの有効フェルミオンスペクトルにおけるエネルギー運動量分散関係の位相的構造は何か？ そして、ワイルノードやヘリシティとどのように関係するか？

主な発見

• ループ量子重力（LQG）の低エネルギースペクトルは、格子に基づく背景の周りで展開すると、正則グラフΓ上の格子フェルミオン理論と一致する。
• LQGにおけるフェルミオンの有効ハミルトニアンは、正則格子上に局所的ハミルトニアンを介して手前のフェルミオンを一貫して結合できないことを禁止するニールセン＝ニノミヤの禁断定理の条件を満たしている。
• その結果、LQGにおけるフェルミオン励起状態のスペクトルは、元の物質理論が手前であろうと、左巻きと右巻きの成分が等しい数で出現しなければならない。
• 分散関係におけるデゲネラシー点（ワイルノード）は、相反するヘリシティを持つペアとして出現し、これらのノードを通過する運動量空間上の閉曲線は、両方向に等しく交差しなければならず、左巻きと右巻きの状態の間のバランスを強制する。
• デゲネラシー点回りの波動関数の位相によって決定される曲線の向きが、左巻きと右巻きのワイルフェルミオンの数が等しいことを確認しており、低エネルギー極限におけるフェルミオン二重化を証明する。
• この結果は、LQGが、基礎的な格子構造や力学的対称性が禁断定理の仮定を破る場合を除き、フェルミオンの手前のスペクトルを二重化なしにサポートできないことを示唆している。