[論文レビュー] Fermionic Luttinger liquids from a microscopic perspective

Manuel Valiente, Lawrence Phillips+2 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2015

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1次元スピンなしフェルミガスにおけるラッティンガー液体理論の微視的基礎を確立し、基礎的な2体散乱位相シフトから物性的結合定数を導出する。Luttingerモデルにおけるブランチ間およびブランチ内相互作用が、すべてブランチ間散乱過程に起因することを示し、ブランチ間結合の再正則化されない性質を説明するとともに、長年の曇りのあったブランチ内項の起源に関する曇りを解消する。

ABSTRACT

We consider interacting one-dimensional, spinless Fermi gases, whose low-energy properties are described by Luttinger liquid theory. We perform a systematic, in-depth analysis of the relation between the macroscopic, phenomenological parameters of Luttinger liquid effective field theory, and the microscopic interactions of the Fermi gas. In particular, we begin by explaining how to model effective interactions in one dimension, which we then apply to the main forward scattering channel -- the interbranch collisions -- common to these systems. We renormalise the corresponding interbranch phenomenological constants in favour of scattering phase shifts. Interestingly, our renormalisation procedure shows (i) how Luttinger's model arises in a completely natural way -- and not as a convenient approximation -- from Tomonaga's model, and (ii) the reasons behind the interbranch coupling constant remaining unrenormalised in Luttinger's model. We then consider the so-called intrabranch processes, whose phenomenological coupling constant is known to be fixed by charge conservation, but whose microscopic origin is not well understood. We show that, contrary to general belief and common sense, the intrabranch interactions appearing in Luttinger liquid theory do not correspond to an intrabranch scattering channel, nor an energy shift due to intrabranch interactions, in the microscopic theory. Instead, they are due to interbranch processes. We finally apply our results to a particular example of an exactly solvable model, namely the fermionic dual to the Lieb-Liniger model in the Tonks-Girardeau and super-Tonks-Girardeau regimes.

研究の動機と目的

• 1次元フェルミガスにおけるラッティンガー液体理論の物性的結合定数の微視的起源を明確化すること。
• Luttingerモデルにおけるブランチ内相互作用の物理的起源に関する長年の曇りを解消すること。これはしばしば同じフェルミ点付近の前向き散乱に起因すると誤って考えられている。
• フェルミ点の再正則化を通じて、Tomonagaのモデルから自然にLuttingerのモデルが出現することを示し、ブランチ間結合の再正則化されない性質を説明すること。
• 有効場理論のパラメータを微視的モデルにおける実際の散乱位相シフトに結びつける体系的な再正則化手順を提供すること。
• Lieb-LinigerモデルおよびCheon-Shigeharaモデルという厳密可解モデルを用いてフレームワークを検証し、Tonks-Girardeauおよび超-Tonks-Girardeau領域での既知の結果と整合することを示すこと。

提案手法

• 1次元フェルミガスにおける有効ブランチ間相互作用を、前向き散乱近似と2体散乱理論からの位相シフトデータを用いて導出する。
• 物性的ラッティンガー液体パラメータを微視的散乱位相シフトにマッピングする再正則化手順を適用し、特にブランチ間チャネルに注目する。
• ブランチ内結合定数を、同じブランチ内散乱の結果ではなく、ブランチ間過程によって誘導される有効エネルギーシフトとして再解釈する。
• Lieb-LinigerモデルおよびCheon-Shigeharaモデルを、特にTonks-Girardeauおよび超-Tonks-Girardeau極限において、再正則化フレームワークの検証に用いる正確なベンチマークとして用いる。
• 摂動論的（1次ボーン）結果と非摂動的位相シフト計算を比較し、相互作用強度の広い範囲にわたる再正則化スキームの妥当性を検証する。
• Lippmann-Schwinger方程式および指数関数的およびゼロ範囲ポテンシャルを伴うシュレーディンガー方程式の正確解を用いて位相シフトを計算し、ラッティンガー液体予測との整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラッティンガー液体理論における物性的結合定数は、1次元フェルミガスにおける微視的2体相互作用からどのように生じるか？
• RQ2 Luttingerのモデルにおけるブランチ間結合定数はなぜ再正則化されないのだろうか？一方、Tomonagaのモデルでは再正則化が必要となるのはなぜか？
• RQ3 Luttingerのモデルにおけるブランチ内相互作用項の真の微視的起源は何か？これは同じフェルミ点付近の前向き散乱に起因するのだろうか？
• RQ4 Tomonagaのモデルにおけるフェルミ点の再正則化が自然にLuttingerのモデルを導くことができるか？その仕組みは何か？
• RQ5 Lieb-LinigerやCheon-Shigeharaといった正確なモデルが、提案された位相シフトに基づく再正則化フレームワークをどの程度まで検証できるか？

主な発見

• Luttingerのモデルにおけるブランチ間結合定数は、Tomonagaのモデルにおけるフェルミ点の再正則化から自然に生じ、その再正則化されない性質を説明する。
• Luttingerのモデルにおけるブランチ内相互作用は、同じブランチ内散乱に起因するのではなく、ブランチ間散乱過程によって誘導される有効エネルギーシフトに起因する。
• Lieb-Linigerモデルでは、ブランチ間結合 $ g_2 $ に対する1次ボーン近似が、非摂動的位相シフト結果と一致する。これは、モデル固有のゼロ範囲かつ位相シフトに整合する相互作用のおかげである。
• 有限範囲の指数関数的ポテンシャルでは、$ g_2 $ に対する1次ボーン近似は、わずかな弱い結合領域でのみ正確な位相シフトと一致し、摂動論の限界を浮き彫りにする。
• 強い反発的相互作用の超-Tonks-Girardeau領域と、強い引力的Cheon-Shigehara領域の両方が、同じ位相シフト行動領域に対応しており、相互作用強度の非自明な再正則化を確認する。
• 再正則化フレームワークは、既知の漸近的結果を正確に再現する：Tonks-Girardeau極限において $ \tilde{K} = 1 + \frac{4}{\gamma} + \mathcal{O}(\gamma^{-2}) $ および $ u = 1 - \frac{4}{\gamma} + \mathcal{O}(\gamma^{-2}) $ が得られ、このアプローチの妥当性を検証する。