[論文レビュー] Fermionization in an Arbitrary Number of Dimensions

N. S. Mankoč Borštnik, H.B. Nielsen|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2016

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ひとこと要約

本稿では、任意の時空次元におけるフェルミオン化手順を提案し、$2^{d/2-1}$ 家族の自由な質量なしフェルミオンが、運動量およびエネルギースペクトルの観点から、カルブ＝ラモンテンソル場の系と正確に等価であることを示している。この対応関係は、ヤコビの三重積恒等式を介して確立され、アラティン＝ナイジェルスの定理により自由度が一致し、弱い重力的背景に対しても拡張可能であることが示唆され、標準模型を越えた普遍的なボソン化フレームワークを示している。

ABSTRACT

One purpose of this proceedings-contribution is to show that at least for free massless particles it is possible to construct an explicit boson theory which is exactly equivalent in terms of momenta and energy to a fermion theory. The fermions come as $2^{d/2-1}$ families and the to this whole system of fermions corresponding bosons come as a whole series of the Kalb-Ramond fields, one set of components for each number of indexes on the tensor fields. Since Kalb-Ramond fields naturally (only) couple to the extended objects or branes, we suspect that inclusion of interaction into such for a bosonization prepared system - except for the lowest dimensions - without including branes or something like that is not likely to be possible. The need for the families is easily seen just by using the theorem long ago put forward by Aratyn and one of us (H.B.F.N.), which says that to have the statistical mechanics of the fermion system and the boson system to match one needs to have the number of the field components in the ratio $\frac{2^{d-1}-1}{2^{d-1}}= \frac{\# bosons}{\# fermions}$, enforcing that the number of fermion components must be a multiple of $2^{d-1}$, where $d$ is the space-time dimension. This "explanation" of the number of dimension is potentially useful for the explanation for the number of dimension put forward by one of us (S.N.M.B.) since long in the spin-charge-family theory, and leads like the latter to typically (a multiple of) $4$ families. And this is the second purpose for our work on the fermionization in an arbitrary number of dimensions - namely to learn how "natural" is the inclusion of the families in the way the spin-charge-family theory does.

研究の動機と目的

• 任意の時空次元 $d$ における自由で質量のない粒子に対する厳密なボソン化／フェルミオン化対応関係を確立すること。
• 数論的恒等式とアラティン＝ナイジェルスの定理を用いて、フェルミオン理論における家族多重性の起源を説明すること。
• このような双対性が弱い重力的背景を含める場合にも拡張可能であるか、運動量およびエネルギーの等価性を保つのかを調査すること。
• スピン電荷家族理論が4つ（または複数の）フェルミオン家族を予測する自然さを、この双対性を通じて評価すること。
• カルブ＝ラモン場が拡張された対象（ブレーン）に結合するが、高次元におけるフェルミオン系の自然なボソン双対として機能することを示すこと。

提案手法

• フェルミオン状態（異なる部分の分割）とボソン状態（奇数部分の分割）の生成関数を等しくするためのヤコビの三重積公式の使用により、状態数の一致を保証する。
• フェルミオン自由度を無限積 $\prod_{k=1}^\infty (1 + x^k)$ にマッピング（異なる部分の分割を表す）、ボソン自由度を $\prod_{m=1,3,5,...} \frac{1}{1 - x^m}$ にマッピング（奇数部分の分割を表す）。
• 1次元の恒等式をトーラス上の運動量状態に周期的または反周期的境界条件を適用して、$d_{\text{space}}$ 次元に多インデックス積を用いて拡張する。
• 複素平面におけるゼロ回りの整数ホイーリング数というトポロジカルな量子数により単粒子状態を分類し、微小変形に対しても保存される。
• 質量なし極限におけるスケール不変性を適用し、弱い重力的背景でも運動量スケーリングに対して双対性が保たれることを保証する。
• エネルギー運動量テンソル $T_{\mu\nu}$ を用いて、重力が対応するフェルミオン的およびボソン的配置に同一に結合することを主張し、力学的性質を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の時空次元において、自由で質量のないフェルミオンの運動量およびエネルギースペクトルを正確に一致させるフェルミオン化手順を構築可能か？
• RQ2 スピン電荷家族理論におけるフェルミオン家族の数がなぜ自然に4の倍数となるのか、そしてこれはボソン化双対性によって説明可能か？
• RQ3 弱い重力的背景場が存在する場合でも、フェルミオン的およびボソン的自由度の間の対応関係は保持されるか？
• RQ4 拡張された対象に結合するカルブ＝ラモン場が、高次元におけるフェルミオン系の自然なボソン双対として機能できるか？
• RQ5 フェルミオンとボソンの自由度を関係付けるアラティン＝ナイジェルスの定理は、自然界に観測される家族多重性の背後にあるより深い説明を提供するか？

主な発見

• ボソン自由度と一致させるために、フェルミオン成分の数は $2^{d-1}$ の倍数でなければならない。これにより、$d$ 次元時空では $2^{d/2-1}$ 家族が最小として要求され、自然に4つ以上（またはその倍数）の家族が生じることを説明する。
• $d=4$ の場合、$2^{4/2 - 1} = 2^1 = 2$ 家族となるが、全系では $2^{d/2-1}$ 家族が必要であり、これにより4つ以上（またはその倍数）の家族が自然に生じることを説明する。
• ヤコビの三重積恒等式により、異なる部分の分割（フェルミオン）の数と、奇数部分の分割（ボソン）の数が等しくなることが保証され、状態数の観点から双対性が確立される。
• 質量なし極限におけるスケール不変性により、運動量固有状態をスケーリングしても双対性が保たれ、これは動的性質に影響しない。
• この手続きにより、重力をバックグラウンド場として扱った場合、エネルギー運動量テンソルを介して、対応するフェルミオン的およびボソン的配置に重力が同一に結合することが示され、力学的性質が保存される。
• この方法により、重力場が強くない限り、重力の存在下でのフェルミオン化が可能であることが示唆され、トポロジカルな量子数（ホイーリング数）が微小変形に対しても不変であるため。