[論文レビュー] Fertility, Strong Fertility, and Postorder Wilf Equivalence

Colin Defant|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2019

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 39被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ウェストのスタック・ソーティング写像の文脈において、フェルティリティ、ストロング・フェルティリティ、ポストオーダー・ウィルフ同値性という3つの新しいウィルフ同値性の変種を導入する。有効なフック配置に対するスライディング作用素と自然な分解を用いて、これらの同値性を示す明示的な双対写像を構成し、無限個の置換クラス族がこれらの同値性を満たすことを示す。これにより、複数の統計量の同時分布が得られ、フェルティリティおよびボレアノ・カタラン数に関する先行研究の一般化が達成される。

ABSTRACT

We introduce "fertility Wilf equivalence," "strong fertility Wilf equivalence," and "postorder Wilf equivalence," three variants of Wilf equivalence for permutation classes that formalize some phenomena that have appeared in the study of West's stack-sorting map. We introduce "sliding operators" and show that they induce useful bijections among sets of valid hook configurations. Combining these maps with natural decompositions of valid hook configurations, we give infinitely many examples of fertility, strong fertility, and postorder Wilf equivalences. As a consequence, we obtain infinitely many joint equidistribution results concerning many permutation statistics. In one very special case, we reprove and extensively generalize a result of Bouvel and Guibert. Another case reproves and generalizes a result of the current author. A separate very special case proves and generalizes a conjecture of the current author concerning stack-sorting preimages and the Boolean-Catalan numbers. We end with two open questions.

研究の動機と目的

• ウェストのスタック・ソーティング写像の研究において生じる非自明なウィルフ同値性を形式化し、一般化すること。
• 置換クラス内において、フェルティリティ、ストロング・フェルティリティ、ポストオーダー・ウィルフ同値性という3つの新しい同値関係を導入し、それらを分析すること。
• 特に、有効なフック配置に対するスライディング作用素を含む組合せ的道具を構築し、明示的かつタイプを保存する双対写像を構成すること。
• これらの新しい関係に関して、同値である無限個の置換クラス族を確立し、置換統計量の同時分布を生じさせること。
• ボレアノ・カタラン数およびスタック・ソーティング写像の逆像に関する既知の結果を再証明し、一般化すること。

提案手法

• 有効なフック配置（VHC）に作用する「スライディング作用素」を導入し、それらがタイプを保存し、VHC集合間の双対写像を可能にする。
• 有効なフック配置の自然な分解を用いて、スタック・ソーティング写像の逆像の構造と置換統計量との関係を関係づける。
• フェルティリティ・ウィルフ同値性を、スタック・ソーティング写像 $s$ における逆像集合のサイズの等しさとして定義する。
• ストロング・フェルティリティ・ウィルフ同値性を、逆像クラスのVHC集合間のタイプを保存する双対写像の存在によって定義する。
• ポストオーダー・ウィルフ同値性を、減少平面木のポストオーダー走査を用いて定義し、スタック・ソーティング写像のダイナミクスと関連付ける。
• 先行研究における有効なフック配置の理論を活用し、フェルティリティを計算し、逆像構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルティリティ・ウィルフ同値性であるが、ストロング・フェルティリティ・ウィルフ同値性でないような無限個の置換クラス族は存在するか？
• RQ2 ポストオーダー・ウィルフ同値性は、ストロング・フェルティリティ・ウィルフ同値性よりも厳密に弱いか？
• RQ3 2進ポストオーダー・ウィルフ同値性とポストオーダー・ウィルフ同値性は一致するか、それとも真包含関係があるか？
• RQ4 スタック・ソーティングの逆像 $\operatorname{Av}_n(132,3412)$ は列挙可能か？また、ボレアノ・カタラン数と関係があるか？
• RQ5 任意の置換クラスのフェルティリティを構造的双対写像を用いて一般に計算する方法はあるか？

主な発見

• 本論文は、スライディング作用素と有効なフック配置の分解を用いて、フェルティリティ、ストロング・フェルティリティ、ポストオーダー・ウィルフ同値性の無限個の例を構成する。
• すべての $n \geq 1$ に対して $|s^{-1}(\operatorname{Av}_n(132,3412))| = |s^{-1}(\operatorname{Av}_n(231,1423))| = |s^{-1}(\operatorname{Av}_n(312,1342))|$ が成り立つことを証明し、新たな等式の鎖を確立する。
• 系列 $\sum_{n \geq 1} |s^{-1}(\operatorname{Av}_n(132,3412))| x^n$ の母関数は $\frac{1 - 2x - \sqrt{1 - 4x - 4x^2}}{4x}$ であり、これはボレアノ・カタラン数として知られている。
• フェルティリティ・ウィルフ同値性がストロング・フェルティリティ・ウィルフ同値性を含まないことを示す反例を提示し、これらの同値関係間に厳密な階層があることを示している。
• 2進ポストオーダー・ウィルフ同値性がポストオーダー・ウィルフ同値性を含まないことを示す反例が与えられ、これら2つ間にも厳密な階層が存在することが確認された。
• ボウヴェルとギーベルの研究および著者の以前のスタック・ソーティングの逆像とボレアノ・カタラン数に関する研究を再証明し、一般化した。