[論文レビュー] Feynman propagators and Hadamard states from scattering data for the Klein-Gordon equation on asymptotically Minkowski spacetimes

Christian Gérard, Michał Wrochna|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、漸近的にミンコフスキー時空における質量のあるクライン=ゴーデン方程式に対して、in/out量子状態の存在およびハダマード性を確立する。計量に短距離減衰条件を導入し、フェยマン散乱データを定義することで、アティヤ＝パトディ＝サインヤー境界条件を満たすクライン=ゴーデン作用素のフレドホルム性を証明し、デュイステルマールとホルマンの意味でフェイマン伝播関数条件を満たすパラメトリクスを構成する。

ABSTRACT

We consider the massive Klein-Gordon equation on a class of asymptotically static spacetimes. We prove the existence and Hadamard property of the in and out states constructed by scattering theory methods. Assuming in addition that the metric approaches that of Minkowski space at infinity in a short-range way, jointly in time and space variables, we define Feynman scattering data and prove the Fredholm property of the Klein-Gordon operator with the associated Atiyah-Patodi-Singer boundary conditions. We then construct a parametrix (with compact remainder terms) for the Fredholm problem and prove that it is also a Feynman parametrix in the sense of Duistermaat and H{ö}rmander.

研究の動機と目的

• 漸近的に静的時空における質量のあるクライン=ゴーデン方程式に対して、inおよびout量子状態の存在を確立すること。
• これらのin/out状態がハダマール条件を満たすことを証明し、2点関数の正しい短距離挙動を保証すること。
• ミンコフスキー空間に近づく計量に対して短距離減衰条件を課したもとで、フェイマン散乱データを定義すること。
• この条件下で、アティヤ＝パトディ＝サインヤー境界条件を満たすクライン=ゴーデン作用素のフレドホルム性を証明すること。
• コンパクトな剰余項をもつパラメトリクスを構成し、デュイステルマールとホルマンの意味でフェイマン伝播関数条件を満たすこと。

提案手法

• 時間に依存する擬微分作用素の計算を、漸近的に静的時空に適用し、時間的・空間的挙動を制御する。
• 計量に短距離条件を課し、空間的部分が時間および空間変数の両方でミンコフスキー空間に減衰するように要請する。
• 散乱理論を用いて、初期値発展作用素の極限を通じてinおよびout状態を定義する。
• クライン=ゴーデン作用素にアティヤ＝パトディ＝サインヤー境界条件を導入し、短距離設定下でのフレドホルム性を証明する。
• 微局所解析を用いてフレドホルム問題のパラメトリクスを構成し、波面集合の解析によりフェイマン伝播関数条件を検証する。
• 可変次数のbソボレフ空間における補間および伝播推定を用いて、解の成長を制御し、発展作用素の一様有界性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的にミンコフスキー時空における散乱理論によって構成されたinおよびout状態は、ハダマール条件を満たすか？
• RQ2 計量が短距離的にミンコフスキー空間に近づくとき、散乱データからフェイマン伝播関数を導出できるか？
• RQ3 短距離的漸近的条件下で、アティヤ＝パトディ＝サインヤー境界条件を満たすクライン=ゴーデン作用素はフレドホルム的か？
• RQ4 これらの境界条件を満たすクライン=ゴーデン方程式に対して構成されたパラメトリクスは、デュイステルマールとホルマンの意味でフェイマン伝播関数条件を満たすか？
• RQ5 時間に依存する擬微分作用素は、非コンパクト時空におけるクライン=ゴーデン方程式の解の長時間挙動をどのように制御できるか？

主な発見

• 散乱データから構成されたinおよびout状態はハダマール条件を満たし、それらの2点関数の正しい短距離挙動が保証される。
• 計量に短距離減衰条件を課した下で、アティヤ＝パトディ＝サインヤー境界条件を満たすクライン=ゴーデン作用素はフレドホルム的である。
• コンパクトな剰余項をもつパラメトリクスがフレドホルム問題に対して構成され、デュイステルマールとホルマンの意味でフェイマン伝播関数条件を満たす。
• inおよびout状態の時間順序2点関数が、波面集合の意味で適切に定義されており、微局所的であることが示された。
• 補間および伝播推定を用いて、重み付きソボレフ空間における随伴発展作用素の一様有界性が確立された。
• 正の質量または漸近的に正の性質をもつ実数値ポテンシャルを任意に取り入れることができ、従来の結果を非共形的および非定数質量の場合に一般化した。