[論文レビュー] FFT, FMM, or Multigrid? A comparative study of state-of-the-art Poisson solvers in the unit cube

Amir Gholami, Dhairya Malhotra+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2014

Spacecraft and Cryogenic Technologies被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、大規模HPCシステムにおける単位立方体内でのポアソン方程式の解法について、FFT、FMM、GMG、AMGをベンチマークしている。滑らかな源関数と均一な解像度が必要な場合にはFFTが優れているが、局所的特徴がある場合にはFMMとGMGがFFTを上回り、そのような状況ではFMMとGMGは同等の性能を示す。

ABSTRACT

From molecular dynamics and quantum chemistry, to plasma physics and computational astrophysics, Poisson solvers in the unit cube are used in many applications in computational science and engineering. In this work, we benchmark and discuss the performance of the scalable methods for the Poisson problem which are used widely in practice: the Fast Fourier Transform (FFT), the Fast Multipole Method (FMM), the geometric multigrid (GMG) and algebraic multigrid (AMG). All but the AMG code are developed in our group. The GMG and FMM are novel parallel schemes using high-order approximation schemes for Poisson problems with continuous forcing functions (the source or right-hand side). Our FFT code is based on the FFTW for single node parallelism. The AMG code is from the Trilinos library from the Sandia National Laboratory. We examine and report results for weak scaling, strong scaling, and time to solution for uniform and highly refined grids. We present results on the Stampede system at the Texas Advanced Computing Center and on the Titan system at the Oak Ridge National Laboratory. In our largest test case, we solved a problem with 600 billion unknowns on 229,379 cores of Titan. Overall, all methods scale quite well to these problem sizes. We have tested all of the methods with different source functions (the right hand side in the Poisson problem). Our results indicate that FFT is the method of choice for smooth source functions that require uniform resolution. However, FFT loses its performance advantage when the source function has highly localized features like internal sharp layers. FMM and GMG considerably outperform FFT for those cases. The distinction between FMM and GMG is less clear.

研究の動機と目的

• 最新のポアソンソルバー（FFT、FMM、GMG、AMG）の、大規模HPCアーキテクチャ上での性能を評価・比較すること。
• 特に滑らかさと局所的特徴の両方を考慮した源関数の特性に応じて最適なソルバーを特定すること。
• 現代のスーパーコンピュータ上で、均一なグリッドと高解像度グリッドの両方における弱スケーリングおよび強スケーリングの挙動を評価すること。
• 計算科学者が問題の種別とハードウェア制約に基づいてソルバーを選択するうえでの実用的知見を提供すること。

提案手法

• 単位立方体内での連続的で力関数に対して高次精度を実現した新規並列FMMスキームを実装した。
• 並列マルチグリッドサイクルと高次補間／縮小作用素を備えた高次幾何的 multigrid (GMG) ソルバーを開発した。
• 単一ノードにおけるFFT並列化にFFTWを使用し、最適化された変換カーネルを活用した。
• 比較のため、TrilinosベースのAMGソルバーを統合し、堅牢な代数的 multigrid フレームワークを用いた。
• 均一グリッドおよび高解像度グリッドを用いて、StampedeおよびTitanシステムでベンチマークを実施した。
• 問題サイズとコア数を変化させた状況で、弱スケーリング、強スケーリング、および解に至るまでの時間を測定した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 現代のスーパーコンピュータ上で、単位立方体内でのポアソン問題に対して、FFT、FMM、GMG、AMGの弱スケーリングおよび強スケーリングの挙動はどのように異なるか？
• RQ2 均一な解像度が求められる滑らかな源関数に対して、どのソルバーが最良の解に至るまでの時間を達成するか？
• RQ3 鋭い内部層のような局所的特徴が存在する場合、各ソルバーの性能にどのような影響を与えるか？
• RQ4 滑らかでない、または局所的な源関数を持つポアソン問題を解く際、FMMとGMGの相対的性能はどのようになるか？

主な発見

• 滑らかな源関数と均一な解像度が求められる場合には、FFTがFMM、GMG、AMGを上回る最良の性能を示す。
• 内部に鋭い層を持つような局所的特徴を有する源関数に対しては、FFTの性能優位性が失われ、FMMおよびGMGに劣るようになる。
• 局所的特徴を有する問題に対しては、FMMとGMGが同等の性能を示し、どちらの手法も一貫して他を上回るとは限らない。
• 4つの手法とも大規模な問題サイズに対して良好にスケーリングされ、Titanシステムの229,379コアで6000億未知数の問題を解いた最大のテストケースが実施された。
• 源関数が滑らかで均一に解像度が保たれる場合には、FFTの解に至るまでの時間がFMMやGMGよりも顕著に短い。
• 源関数内の局所的特徴の複雑さが増すにつれ、FFTと他の手法との間の性能差が拡大する。