[論文レビュー] FI_W-modules and constraints on classical Weyl group characters

J. Wilson|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2015

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ひとこと要約

本稿では、古典的ワイル群（対称群、ハイパーオクテッドラル群、およびイーブン・サインド群）の表現の系列を研究するためのFI_W-加群を導入する。特性0における有限生成FI_W-加群は、十分大きなnに対してnに依存しない特性多項式を持つことを証明する。これは次元の多項式的成長および符号付きサイクル数え上げ関数による一様な特性の記述を意味し、対称群に関する先行研究をタイプB/CおよびDへと拡張する。

ABSTRACT

In this paper we study the characters of sequences of representations of any of the three families of classical Weyl groups W_n: the symmetric groups, the signed permutation groups (hyperoctahedral groups), or the even-signed permutation groups. Our results extend work of Church, Ellenberg, Farb, and Nagpal on the symmetric groups. We use the concept of an FI_W-module, an algebraic object that encodes the data of a sequence of W_n-representations with maps between them, defined in the author's recent work ArXiv:1309.3817. We show that if a sequence {V_n} of W_n-representations has the structure of a finitely generated FI_W-module, then there are substantial constraints on the growth of the sequence and the structure of the characters: for n large, the dimension of V_n is equal to a polynomial in n, and the characters of V_n are given by a character polynomial in signed-cycle-counting class functions, independent of n. We determine bounds the degrees of these polynomials. We continue to develop the theory of FI_W-modules, and we apply this theory to obtain new results about a number of sequences associated to the classical Weyl groups: the cohomology of complements of classical Coxeter hyperplane arrangements, and the cohomology of the pure string motion groups (the groups of symmetric automorphisms of the free group).

研究の動機と目的

• 対称群から古典的ワイル群のタイプB/CおよびDへとFI-加群理論を拡張すること。
• 特性0における有限生成FI_W-加群が、十分大きなnに対してnに依存しない特性多項式を持つことの確立。
• このような表現の次元が、任意の体上でもnに関して多項式的成長することの証明。
• より強い対称性を有するFI_W#-加群の理論の構築により、より緊密な構造的制約を導出すること。
• ハイパーオクテッドラル配置の補集合のコホロジー列および純粋ストリング運動群へのフレームワークの応用。

提案手法

• W_n-表現の系列を、互いに整合性を持つ写像で記述する代数的構造としてFI_W-加群を定義する。
• 誘導表現M_W(U)の理論を用いてFI_W-加群を分類し、その特性多項式を分析する。
• 十分大きなnに対して、V_nの特性が符号付きサイクル数え上げ関数に関する特性多項式で与えられることを証明し、その次数は有限生成度によって上限が与えられる。
• タイプB/CおよびDへのCEFN14結果の一般化により、任意の体上でも多項式的次元成長を確立する。
• 追加の対称性を有するFI_W#-加群を導入し、表現分解におけるより強い制約を可能にする。
• ハイパーオクテッドラル配置の補集合M_W(n)および純粋ストリング運動群PΣ_nのコホロジーに対する特性多項式の計算にフレームワークを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FI_W-加群の有限生成性が、十分大きなnにおけるその表現V_nの特性にどのような制約を課えるか。
• RQ2 任意の体上でも、有限生成FI_W-加群におけるV_nの次元が多項式的成長を示すか。
• RQ3 タイプB/CおよびDにおける特性多項式は、既知のタイプA（対称群）の結果をどのように一般化するか。
• RQ4 古典的コックスター超平面配置の補集合のコホロジーは、FI_W-加群としてどのように構造を持つか。
• RQ5 FI_W#-加群はFI_W-加群の構造をどのように精緻化し、表現分解におけるより強い制約を導くか。

主な発見

• 特性0における任意の有限生成FI_W-加群に対して、十分大きなnおよびすべてのσ ∈ W_nに対して、χ_V_n(σ)は、nに依存しない次数がd以下の特性多項式F_Vで与えられる。
• 十分大きなすべてのnに対して、dim(V_n)はnに関する多項式に等しくなる。その次数は有限生成度dによって上限が与えられる。
• この次元の多項式的成長は、特性0に限らず、任意の体上でも成り立つ。これは定理4.20によって示された。
• H^2(M_BC(•), ℂ)の特性多項式は、明示的に計算されており、3(X_1 choose 2) + 3(Y_1 choose 2) - X_1Y_1 + 3X_2 - Y_2 + 14(X_1 choose 3) + 2(X_1 choose 2)Y_1 + ... である。
• H^m(M_W(•), ℂ)の誘導表現M_W(U)への分解は、特性多項式を用いて計算可能である。これは問題5.11で提示されたものである。
• FI_W#-加群は、V_nの表現分解におけるより強い構造的制約を可能にし、標準的なFI_W-加群よりも洗練された解析を可能にする。