[論文レビュー] Weyl Groups with Coxeter Presentation and Presentation by Conjugation

Georg Hofmann|ArXiv.org|Jul 22, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、拡張アフィン根系（EARS）のウェイル群がコックスター表示をもつか、あるいは共役による表示をもつかを調査する。EARSのノルタニティが1以下であるとき、かつそのときに限り、拡張アフィンウェイル群（EAWeG）はコックスター表示をもつことが示され、任意のEAWeGは、根系の最小性条件を満たすあるEARSに関して共役による表示をもつことが示される。主な貢献は、EARSの文脈におけるこれらの表示の完全な特徴付けである。

ABSTRACT

We investigate which Weyl groups have a Coxeter presentation and which of them at least have the presentation by conjugation with respect to their root system. For most concepts of root systems the Weyl group has both. In the context of extended affine root systems (EARS) there is a small subclass allowing a Coxeter presentation of the Weyl group and a larger subclass allowing the presentation by conjugation. We give necessary and sufficient conditions for both classes. Our results entail that every extended affine Weyl group (EAWeG) has the presentation by conjugation with respect to a suitable EARS.

研究の動機と目的

• 拡張アフィン根系（EARS）のウェイル群がコックスター表示をもつ条件を特定すること。
• 根集合のウェイル群が共役による表示をもつ条件を調査すること。
• すべての拡張アフィンウェイル群（EAWeG）が、あるEARSに関して共役による表示をもつことを確立すること。
• 共役による表示を支える最小EARSを特徴づけること。
• 根系の型（例：BCℓ, Bℓ, Cℓ）とこのような表示の存在との間の関係を明確にすること。

提案手法

• 有限、局所有限、および拡張アフィン根系といったさまざまな根系概念を統一するため、根集合の概念を導入する。
• 共役による表示を、根の対合 rα による群表示として定義し、関係式 rα² = 1 および rα rβ rα⁻¹ = r_{rα(β)}（α, β ∈ R×）を用いる。
• EARSにおける最小性（定義3.4）の概念を適用し、共役による表示が成立する条件を特徴づける。
• ウェイル群の作用と軌道分解の構造を用いて、問題を既約成分に還元する。
• ビンバーグおよびデオダールの反射群および離散線形群に関する結果を応用し、根系の型を分析する。
• 商群およびV/V⁰上の自己同型群を用いた還元技術を用い、最小性および根系の型の変化に関する条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張アフィン根系（EARS）のウェイル群がコックスター表示をもつ条件は何か？
• RQ2 根集合のウェイル群が共役による表示をもつのはいつか？
• RQ3 EARSの最小性と共役による表示の存在との間の明確な関係は何か？
• RQ4 一般のEARSから最小EARSに移行する際、どのような根系の型（例：BCℓ, Bℓ, Cℓ）が生じ得るか？
• RQ5 すべての拡張アフィンウェイル群（EAWeG）は、あるEARSに関して共役による表示をもつのか？

主な発見

• 拡張アフィンウェイル群（EAWeG）がそのEARSに関してコックスター表示をもつのは、EARSのノルタニティが1以下であるとき、かつそのときに限り成り立つ。
• EAWeGがそのEARSに関して共役による表示をもつのは、EARSが最小（定義3.4）であるとき、かつそのときに限り成り立つ。
• すべてのEAWeGは、あるEARSに関して共役による表示をもつ。これは、すべてのEARSが最小部分EARSを含むことによる。
• 一般のEARSから最小EARSに移行する際、可能な型の変更は、BC₁ → A₁、BC₂ → B₂、BCℓ → Bℓ、およびBCℓ → Cℓ（ℓ ≥ 3）に限られる。
• 共役による表示は、生成元 rα と関係式 rα² = 1 および rα rβ rα⁻¹ = r_{rα(β)}（α, β ∈ R×）を用いた標準的な群表示と同値である。
• コックスター表示の存在は、共役による表示の存在を含意するが、逆は一般には成り立たない。特にノルタニティ > 1 の場合に顕著である。