[論文レビュー] Fiber Bundle Gauge Theories and "Field's Dilemma"

Yair Guttmann, Holger Lyre|ArXiv.org|May 19, 2000

Relativity and Gravitational Theory参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ゲージ理論における物理的内容と数学的内容を区別するという哲学的課題である「フィールドのジレンマ」を、ファイバー束の微分幾何学的手法を用いて厳密に解消する。主な貢献は、量子および重力ゲージ理論において、物理的に有意義な構造（ファイバー上の場）と単なる数学的冗長性（ゲージ変換）を自然かつ物理的根拠に基づいて明確に分離できることを示したことである。この分離は、ファイバー束形式を用いて複数の理論にわたって検証され、理論的整合性を示している。

ABSTRACT

We propose a distinction between the physical and the mathematical parts of gauge field theories. The main problem we face is to uphold a strong and meaningful criterion of what is physical. We like to call it "Field's dilemma", referring to Hartry Field's nominalist proposal which we consider to be inadaequate. The resolution to the dilemma, we believe, is implicitly provided by the so-called fiber bundle formalism. We shall demonstrate, in detail, that the bundle structure underlying modern quantum and gravitational gauge field theories allows for a genuine distinction between the physically significant and the merely mathematical parts of these theories.

研究の動機と目的

• ハートリー・フィールドの存在論的課題、すなわち物理理論における数学的実体の不可欠性に関する『フィールドのジレンマ』に対処すること。
• ゲージ場理論における物理的に有意義な成分と、単に数学的で冗長な構造とを区別する基準を構築すること。
• ファイバー束ゲージ理論が、物理的場（ファイバー上）と数学的ゲージ自由度（縦方向変換）の間で原理的分離を内蔵していることを示すこと。
• この区別が恣意的ではなく、現代ゲージ理論の幾何的構造から自然に生じることを示すこと。
• ゲージ理論の物理的に意味のある内容が、基底空間やゲージ群そのものではなく、ファイバー上の場および接続に対応することを主張すること。

提案手法

• ゲージ理論を幾何的および物理的成分に分解するための数学的枠組みとして、ファイバー束形式を用いる。
• 物理的内容を、特に関連ベクトル束の切断を通じて定義されたファイバー上に定義された場として特定する。
• 主束上の接続の概念を応用し、物理的相互作用（例：ゲージ場）を表現する。これにより、純粋なゲージ変換と区別する。
• 物理的に効果的で物理的状態を変える「アクティブな局所的ゲージ変換」と、物理的内容を保存する「パasiveな変換」（冗長）を区別する。
• ゲージポテンシャルから導かれる接続の曲率（ゲージ理論におけるリーマン曲率に類似したテンソル）を物理的観測可能量とし、ゲージ変換がファイバー上に縦方向に作用することを示す。
• 局所的ゲージ不変性の原理を適用し、物理的相互作用が、共変性の要請によってゲージ自由度が制約されたときにのみ出現することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 名目主義論理に依存しない独立した原則的区別が、ゲージ場理論における物理的および数学的成分の間に可能か。
• RQ2 ファイバー束形式が、物理的に有意義な構造と数学的冗長性の間の自然な分離をどのように可能にするか。
• RQ3 ゲージ変換が物理的でない自由度と物理的自由度をどのように区別するか。
• RQ4 ゲージ理論における物理的場は、関連ベクトル束の切断として最も適切に表現されるか。また、この表現が数学的実体への存在論的コミットメントを排除できるか。
• RQ5 ファイバー束構造が時空や束空間についての実在主義を示唆するか。もしそうならば、物理的内容を損なわずにこれを回避できるか。

主な発見

• ゲージ場理論における物理的に有意義な部分は、特に関連ベクトル束の切断を通じて定義されたファイバー上に定義された場として表現される。
• ファイバー上に縦方向に作用するゲージ変換は、接続を保存するため物理的に冗長であるが、共変微分に組み込まれた水平成分を有する変換は物理的に効果的である。
• ゲージポテンシャルから導かれる接続の曲率は、ゲージ場の力学を符号化する物理的観測可能量である。
• ファイバー束形式は、フィールドの意味での物理理論の保守的拡張を提供する：物理的内容は数学的スケルトンへのコミットメントなしに理論全体に完全に反映される。
• 物理的と数学的成分の区別は恣意的ではなく、特に全空間を基底空間とファイバーに分解する理論の幾何的構造から自然に生じる。
• このアプローチは、束空間の実在主義へのコミットメントを回避する。物理的内容は、基底空間や全空間の点そのものではなく、ファイバー上の場に存在する。